Determine a distância entre:
r: X=(1,2,3)+\lambda(1,1,1), \lambda \in \mathbb{R} e \pi: x+y+z+1=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar a distância entre a reta r e o plano \pi.
Informações dadas:
r:\; X=(1,2,3)+\lambda(1,1,1),\quad \lambda\in\mathbb{R}
\pi:\; x+y+z+1=0
Ou seja, a reta tem um ponto inicial X_0=(1,2,3) e vetor diretor v=(1,1,1). O plano é dado pela equação \;n\cdot x + d = 0 com n=(1,1,1) e d=1.

Passo 2

Ideia geral (sem cálculos ainda): para saber a distância entre uma reta e um plano, primeiro verificamos se a reta intersecta o plano. Se a reta intersecta o plano, a distância é 0. Se a reta é paralela ao plano (ou seja, nunca o cruza), então a distância é a distância de qualquer ponto da reta ao plano, dada pela fórmula do ponto ao plano. Vamos aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Critério prático para decidir se a reta intersecta o plano: compute o produto escalar entre o vetor diretor da reta v e o vetor normal do plano n.
Se v\cdot n \neq 0, então ao variar o parâmetro \lambda a quantidade n\cdot (X_0+\lambda v)+d pode assumir o valor 0 para algum \lambda, logo a reta intersecta o plano.
Se v\cdot n = 0, então a reta é paralela ao plano (diretor da reta é ortogonal ao normal), e não há interseção (ou a reta está contida no plano). Neste caso usamos a fórmula da distância ponto-plano.
Explicando o que é o produto escalar: para dois vetores a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3),
a\cdot b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.
Ele mede, entre outras coisas, se os vetores são ortogonais ( a\cdot b=0) ou não.

Passo 4

Calcule v\cdot n para os vetores dados:
v=(1,1,1),\qquad n=(1,1,1).
v\cdot n = 1\cdot1 + 1\cdot1 + 1\cdot1 = 3 \neq 0.
Como v\cdot n \neq 0, concluímos que a reta intersecta o plano (há um \lambda que faz a equação do plano ser satisfeita). Portanto a distância entre reta e plano será 0. Vamos mostrar explicitamente a interseção para fixar a ideia.

Passo 5

Substituímos a parametrização da reta na equação do plano para encontrar o parâmetro de interseção:
Pontos da reta: x=1+\lambda,\; y=2+\lambda,\; z=3+\lambda.
Substituindo em \pi:\; x+y+z+1=0, obtemos a equação em \lambda:
(1+\lambda)+(2+\lambda)+(3+\lambda)+1 = 0.
Colocando em forma simplificada (fórmula isolada em bloco):
7 + 3\lambda = 0.

Passo 6

Resolvendo a equação do passo anterior para \lambda:
3\lambda = -7 \quad\Rightarrow\quad \lambda = -\tfrac{7}{3},
que é um número real. Isso confirma que existe um ponto da reta que pertence ao plano, ou seja, a reta intersecta o plano.

Passo 7

Conclusão final: se a reta intersecta o plano, a menor distância entre elas é 0 (porque há um ponto comum). Portanto a distância pedida é 0.

Resposta

0

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