Determine a distância entre:
e
Passo 1
O enunciado pede: determinar a distância entre a reta
e o plano
.
Informações dadas:
Ou seja, a reta tem um ponto inicial
e vetor diretor
. O plano é dado pela equação
com
e
.
Passo 2
Ideia geral (sem cálculos ainda): para saber a distância entre uma reta e um plano, primeiro verificamos se a reta intersecta o plano. Se a reta intersecta o plano, a distância é
. Se a reta é paralela ao plano (ou seja, nunca o cruza), então a distância é a distância de qualquer ponto da reta ao plano, dada pela fórmula do ponto ao plano. Vamos aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Critério prático para decidir se a reta intersecta o plano: compute o produto escalar entre o vetor diretor da reta
e o vetor normal do plano
.
Se , então ao variar o parâmetro
a quantidade
pode assumir o valor
para algum
, logo a reta intersecta o plano.
Se , então a reta é paralela ao plano (diretor da reta é ortogonal ao normal), e não há interseção (ou a reta está contida no plano). Neste caso usamos a fórmula da distância ponto-plano.
Se
Se
Explicando o que é o produto escalar: para dois vetores
e
,
Ele mede, entre outras coisas, se os vetores são ortogonais (
) ou não.
Passo 4
Calcule
para os vetores dados:
Como
, concluímos que a reta intersecta o plano (há um
que faz a equação do plano ser satisfeita). Portanto a distância entre reta e plano será
. Vamos mostrar explicitamente a interseção para fixar a ideia.
Passo 5
Substituímos a parametrização da reta na equação do plano para encontrar o parâmetro de interseção:
Pontos da reta: .
Substituindo em , obtemos a equação em
:
Pontos da reta:
Substituindo em
Colocando em forma simplificada (fórmula isolada em bloco):
Passo 6
Resolvendo a equação do passo anterior para
:
que é um número real. Isso confirma que existe um ponto da reta que pertence ao plano, ou seja, a reta intersecta o plano.
Passo 7
Conclusão final: se a reta intersecta o plano, a menor distância entre elas é
(porque há um ponto comum). Portanto a distância pedida é
.