Determine a distância entre:
r: X=(1,1,1)+\lambda(1,-2,3), \lambda \in \mathbb{R} e s: \frac{3-x}{2}=\frac{y-2}{4}=\frac{1-z}{6}

Passo 1

O que o problema pede: determinar a distância entre as retas r e s.
Informações dadas:
r: \; X = (1,1,1) + \lambda(1,-2,3),\qquad \lambda\in\mathbb{R}.
s: \; \frac{3-x}{2}=\frac{y-2}{4}=\frac{1-z}{6}.
Dados explícitos que podemos extrair imediatamente (sem ainda resolver): um ponto e um vetor diretor para cada reta podem ser obtidos a partir das formas paramétricas dadas acima.

Passo 2

Vamos extrair um ponto e um vetor diretor para cada reta.
Para r já está explícito:
P_0=(1,1,1),\qquad u=(1,-2,3).
Para s convertemos a forma simétrica em forma paramétrica. Seja t o parâmetro comum:
\frac{3-x}{2}=t,\quad \frac{y-2}{4}=t,\quad \frac{1-z}{6}=t.
Isolando x,y,z obtemos
x=3-2t,\quad y=2+4t,\quad z=1-6t.
Logo um ponto em s é obtido para t=0:
Q_0=(3,2,1),
e o vetor diretor de s é o coeficiente de t:
v=(-2,4,-6).

Passo 3

Verificamos a relação entre os vetores diretores u e v.
Compare u=(1,-2,3) e v=(-2,4,-6). Observamos que
v = -2\,u.
Portanto as retas r e s são paralelas (mesma direção, possivelmente orientadas sensivelmente diferentes). Isso muda o método: para retas paralelas a distância entre elas é a distância entre uma delas e um ponto da outra medida ortogonalmente à direção comum.

Passo 4

Fórmula que vamos usar e por quê.
Se duas retas são paralelas com vetor diretor u, e P_0 e Q_0 são pontos quaisquer em cada reta, então o vetor entre pontos é
w = Q_0 - P_0.
A distância entre as retas é a norma da projeção de w sobre o plano perpendicular a u, ou geometricamente a altura de um paralelogramo de base \|u\| e área \|w\times u\|. Assim a fórmula é
d=\frac{\|w\times u\|}{\|u\|}.
Explicação rápida do porquê: \|w\times u\| é a área do paralelogramo formado por w e u. Essa área também é igual à base \|u\| vezes a altura (que é exatamente a distância entre as retas). Portanto dividir a área por \|u\| dá a altura, ou seja a distância procurada.

Passo 5

Calculamos w e o produto vetorial w\times u.
Primeiro
w = Q_0 - P_0 = (3,2,1)-(1,1,1) = (2,1,0).
O produto vetorial w\times u é dado por
w\times u = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 2 & 1 & 0 \\\\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix}.
Calculando componente a componente:
(w\times u)_1 = 1\cdot 3 - 0\cdot(-2) = 3,
(w\times u)_2 = 0\cdot 1 - 2\cdot 3 = -6,
(w\times u)_3 = 2\cdot(-2) - 1\cdot 1 = -4-1 = -5.
Portanto
w\times u = (3,-6,-5).

Passo 6

Calculamos as normas necessárias e montamos a fórmula da distância.
Norma de w\times u:
\|w\times u\| = \sqrt{3^2+(-6)^2+(-5)^2} = \sqrt{9+36+25} = \sqrt{70}.
Norma de u:
\|u\| = \sqrt{1^2+(-2)^2+3^2} = \sqrt{1+4+9} = \sqrt{14}.
Usando a fórmula do Passo 4:
d = \frac{\|w\times u\|}{\|u\|} = \frac{\sqrt{70}}{\sqrt{14}} = \sqrt{\frac{70}{14}}.

Resposta

\sqrt{5}

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