Determine a distância entre: r: X=(1,1,1)+\lambda(1,-2,3), \lambda \in \mathbb{R} e s: \frac{3-x}{2}=\frac{y-2}{4}=\frac{1-z}{6}
Passo 1
O que o problema pede: determinar a distância entre as retas r e s.
Informações dadas:
r: \; X = (1,1,1) + \lambda(1,-2,3),\qquad \lambda\in\mathbb{R}.
s: \; \frac{3-x}{2}=\frac{y-2}{4}=\frac{1-z}{6}.
Dados explícitos que podemos extrair imediatamente (sem ainda resolver): um ponto e um vetor diretor para cada reta podem ser obtidos a partir das formas paramétricas dadas acima.
Passo 2
Vamos extrair um ponto e um vetor diretor para cada reta.
Para r já está explícito:
P_0=(1,1,1),\qquad u=(1,-2,3).
Para s convertemos a forma simétrica em forma paramétrica. Seja t o parâmetro comum:
Verificamos a relação entre os vetores diretores u e v.
Compare u=(1,-2,3) e v=(-2,4,-6). Observamos que
v = -2\,u.
Portanto as retas r e s são paralelas (mesma direção, possivelmente orientadas sensivelmente diferentes). Isso muda o método: para retas paralelas a distância entre elas é a distância entre uma delas e um ponto da outra medida ortogonalmente à direção comum.
Passo 4
Fórmula que vamos usar e por quê.
Se duas retas são paralelas com vetor diretor u, e P_0 e Q_0 são pontos quaisquer em cada reta, então o vetor entre pontos é
w = Q_0 - P_0.
A distância entre as retas é a norma da projeção de w sobre o plano perpendicular a u, ou geometricamente a altura de um paralelogramo de base \|u\| e área \|w\times u\|. Assim a fórmula é
d=\frac{\|w\times u\|}{\|u\|}.
Explicação rápida do porquê: \|w\times u\| é a área do paralelogramo formado por w e u. Essa área também é igual à base \|u\| vezes a altura (que é exatamente a distância entre as retas). Portanto dividir a área por \|u\| dá a altura, ou seja a distância procurada.