Determine a distância entre:
r: X=(1,1,1)+\lambda(1,-2,3), \lambda \in \mathbb{R} e s: \frac{1-x}{2}=\frac{y-1}{4}=\frac{1-z}{6}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a distância entre as retas
r: X=(1,1,1)+\lambda(1,-2,3),\; \lambda\in\mathbb{R} e
s: \dfrac{1-x}{2}=\dfrac{y-1}{4}=\dfrac{1-z}{6}. \n
Informações dadas:
  • Para r temos um ponto da reta P_r=(1,1,1) e vetor diretor v_r=(1,-2,3).
  • Para s temos a forma simétrica \dfrac{1-x}{2}=\dfrac{y-1}{4}=\dfrac{1-z}{6}.
    Pergunta clara: qual é a distância entre as duas retas (número real)?

Passo 2

Convertemos a forma simétrica de s para forma paramétrica. Seja t o parâmetro comum:
\dfrac{1-x}{2}=t \Rightarrow x=1-2t.
\dfrac{y-1}{4}=t \Rightarrow y=1+4t.
\dfrac{1-z}{6}=t \Rightarrow z=1-6t.
Logo uma representação paramétrica é
s: X=(1,1,1)+t(-2,4,-6),\; t\in\mathbb{R}.

Passo 3

Extraímos os elementos principais de cada reta (tudo em TeX):
  • Para r: ponto P_r=(1,1,1), vetor diretor v_r=(1,-2,3).
  • Para s: ponto P_s=(1,1,1) (obtido colocando t=0), vetor diretor v_s=(-2,4,-6).

Passo 4

Verificamos a relação entre os vetores diretores:
v_s=(-2,4,-6) = -2\cdot(1,-2,3) = -2\,v_r.
Portanto v_s e v_r são colineares (as retas são paralelas ou coincidentes).

Passo 5

Verificamos se as retas têm ponto em comum. Observamos que P_r=(1,1,1) e P_s=(1,1,1) (veio de t=0). Logo as retas compartilham o mesmo ponto. Se duas retas têm vetores diretores colineares e compartilham um ponto, então são a mesma reta (coincidem).

Passo 6

Conclusão prática: sendo as retas coincidentes, a menor distância entre elas é \,0. \n
(Complemento didático: se as retas fossem paralelas porém distintas, a fórmula útil é
\displaystyle d=\frac{\| (P_s-P_r)\times v_r\|}{\|v_r\|}, onde P_r e P_s são pontos em cada reta e v_r é um vetor diretor comum; aqui P_s-P_r=(0,0,0) daria \,d=0 também.)

Resposta

0

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