Determine a distância entre:
r:\left\{\begin{array}{ll}x & =1+k \\\ y & =1+k \\\ z & =-1+k\end{array} \quad k \in \mathbb{R}\right. e \pi: X=(1,1,1)+\alpha(0,1,0)+\beta(1,1,1), \alpha, \beta \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede a distância entre a reta r e o plano \pi.\n
Informações dadas:
  • A reta r é dada por
x=1+k,\quad y=1+k,\quad z=-1+k,\qquad k\in\mathbb{R}.
  • O plano \pi é descrito por um ponto e dois vetores diretores:
X=(1,1,1)+\alpha(0,1,0)+\beta(1,1,1),\qquad \alpha,\beta\in\mathbb{R}.
Pergunta a responder: calcular a distância entre r e \pi.

Passo 2

Identificar um ponto e o vetor diretor da reta r.\n
Tomando k=0 na parametrização de r obtemos um ponto da reta:
P_0=(1,1,-1).
O coeficiente que multiplica k é o vetor diretor da reta:
\mathbf{v}_r=(1,1,1).

Passo 3

Identificar um ponto do plano \pi e seus vetores diretores.\n
Do enunciado, o ponto base do plano é
A=(1,1,1).
Os vetores diretores do plano são
\mathbf{u}=(0,1,0)\quad\text{e}\quad \mathbf{w}=(1,1,1).

Passo 4

Verificar a relação entre a direção da reta e o plano (paralelismo).\n
Observamos que o vetor diretor da reta \mathbf{v}_r=(1,1,1) é exatamente igual ao vetor diretor \mathbf{w}=(1,1,1) do plano. Isso significa que a reta é paralela ao plano (um vetor diretor da reta pertence ao espaço gerado pelos vetores diretores do plano).\n
Quando uma reta é paralela a um plano, a distância entre a reta e o plano é igual à distância entre qualquer ponto da reta e o plano. Assim podemos reduzir o problema a calcular a distância do ponto P_0 ao plano \pi.

Passo 5

Lembrar e explicar a fórmula da distância ponto-plano.\n
Se A é um ponto do plano, \mathbf{n} é um vetor normal ao plano e P é o ponto externo, então a distância do ponto P ao plano é
d=\frac{|(P-A)\cdot\mathbf{n}|}{\|\mathbf{n}\|}.
Explicando: (P-A) é o vetor que liga um ponto do plano ao ponto P; a projeção absoluta desse vetor sobre a direção normal \mathbf{n} dá a componente perpendicular ao plano, e dividir pelo comprimento de \mathbf{n} normaliza essa projeção.

Passo 6

Calcular um vetor normal \mathbf{n} ao plano usando produto vetorial.\n
Um vetor normal ao plano pode ser obtido fazendo o produto vetorial entre os dois vetores diretores \mathbf{u} e \mathbf{w}:
\mathbf{n}=\mathbf{u}\times\mathbf{w}.
Calculemos explicitamente:
\mathbf{n}=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}.
Computando as componentes:
n_x = 1\cdot1 - 0\cdot1 = 1,
n_y = -(0\cdot1 - 0\cdot1) = 0,
n_z = 0\cdot1 - 1\cdot1 = -1.
Logo
\mathbf{n}=(1,0,-1).

Passo 7

Calcular o vetor entre o ponto da reta e o ponto do plano e o produto escalar com \mathbf{n}.\n
O vetor P_0A (ou P_0 - A) é
P_0-A=(1,1,-1)-(1,1,1)=(0,0,-2).
Agora o produto escalar:
(P_0-A)\cdot\mathbf{n} = (0,0,-2)\cdot(1,0,-1)=0+0+2=2.
Tomamos o valor absoluto no numerador da fórmula, então |(P_0-A)\cdot\mathbf{n}|=2.

Passo 8

Calcular a norma do vetor normal \mathbf{n} e aplicar a fórmula da distância.\n
A norma de \mathbf{n} é
\|\mathbf{n}\|=\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt{2}.
Aplicando a fórmula:
d=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.

Passo 9

Comentário final rápido para fixar a ideia.\n
Resumo do raciocínio: como a direção da reta pertence ao plano, a reta é paralela ao plano; por isso basta medir a componente perpendicular entre um ponto da reta e o plano. Encontramos essa componente projetando o vetor que liga um ponto do plano ao ponto da reta sobre o vetor normal do plano.

Resposta

\sqrt{2}

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