Verificar a relação entre a direção da reta e o plano (paralelismo).\n
Observamos que o vetor diretor da reta \mathbf{v}_r=(1,1,1) é exatamente igual ao vetor diretor \mathbf{w}=(1,1,1) do plano. Isso significa que a reta é paralela ao plano (um vetor diretor da reta pertence ao espaço gerado pelos vetores diretores do plano).\n
Quando uma reta é paralela a um plano, a distância entre a reta e o plano é igual à distância entre qualquer ponto da reta e o plano. Assim podemos reduzir o problema a calcular a distância do ponto P_0 ao plano \pi.
Passo 5
Lembrar e explicar a fórmula da distância ponto-plano.\n
Se A é um ponto do plano, \mathbf{n} é um vetor normal ao plano e P é o ponto externo, então a distância do ponto P ao plano é
d=\frac{|(P-A)\cdot\mathbf{n}|}{\|\mathbf{n}\|}.
Explicando: (P-A) é o vetor que liga um ponto do plano ao ponto P; a projeção absoluta desse vetor sobre a direção normal \mathbf{n} dá a componente perpendicular ao plano, e dividir pelo comprimento de \mathbf{n} normaliza essa projeção.
Passo 6
Calcular um vetor normal \mathbf{n} ao plano usando produto vetorial.\n
Um vetor normal ao plano pode ser obtido fazendo o produto vetorial entre os dois vetores diretores \mathbf{u} e \mathbf{w}:
Tomamos o valor absoluto no numerador da fórmula, então |(P_0-A)\cdot\mathbf{n}|=2.
Passo 8
Calcular a norma do vetor normal \mathbf{n} e aplicar a fórmula da distância.\n
A norma de \mathbf{n} é
\|\mathbf{n}\|=\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt{2}.
Aplicando a fórmula:
d=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.
Passo 9
Comentário final rápido para fixar a ideia.\n
Resumo do raciocínio: como a direção da reta pertence ao plano, a reta é paralela ao plano; por isso basta medir a componente perpendicular entre um ponto da reta e o plano. Encontramos essa componente projetando o vetor que liga um ponto do plano ao ponto da reta sobre o vetor normal do plano.