Determine a distância entre as retas r_{1}:(x, y, z)=(1,0,-1)+t(1,2,3) e r_{2}:(x, y, z)=(0,0,1)+ t(-1,2,3), t \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede a distância entre as retas r_{1} e r_{2}. As informações dadas são:
r_{1}:(x,y,z)=(1,0,-1)+t(1,2,3),\quad t\in\mathbb{R},
r_{2}:(x,y,z)=(0,0,1)+t(-1,2,3),\quad t\in\mathbb{R}.
Daí extraímos explicitamente:
\text{ponto }A=(1,0,-1)\quad\text{e vetor direção }u=(1,2,3)çã
\text{ponto }B=(0,0,1)\quad\text{e vetor direção }v=(-1,2,3).çã
O que precisamos calcular é a distância mínima entre essas duas retas no espaço (que pode ser interpretada como a distância entre duas retas possivelmente reversas/obliquas).

Passo 2

Vou usar uma fórmula geométrica direta (explico por quê): tome o vetor que liga um ponto de r_{1} a um ponto de r_{2}, ou seja \overrightarrow{AB}=B-A. O produto vetorial u\times v é um vetor perpendicular a ambos os vetores direção; seu comprimento \|u\times v\| é a área do paralelogramo gerado por u e v. O valor absoluto do produto escalar \overrightarrow{AB}\cdot(u\times v) é o volume do paralelepípedo formado por \overrightarrow{AB},u,v. A altura desse paralelepípedo em relação à base (o paralelogramo gerado por u e v) é precisamente a distância entre as retas. Portanto a fórmula que vamos aplicar é:
d=\frac{\big|\overrightarrow{AB}\cdot(u\times v)\big|}{\|u\times v\|}.
Aqui:
  • \overrightarrow{AB}=B-A é o vetor que liga os pontos escolhidos em cada reta;
  • u e v são os vetores direção das retas;
  • u\times v é o produto vetorial (dá um vetor perpendicular a ambos);
  • \|\cdot\| é a norma (comprimento) do vetor;
  • o numerador é a magnitude do produto escalar (valor absoluto) — é o volume absoluto.
Agora vamos calcular cada termo passo a passo.

Passo 3

Calcular \overrightarrow{AB}:
\overrightarrow{AB}=B-A=(0,0,1)-(1,0,-1)=(-1,0,2).
Calcular o produto vetorial u\times v com u=(1,2,3) e v=(-1,2,3). Usando a regra do determinante 3x3:
u\times v= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 2 & 3 \\\\ -1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2\cdot 3-3\cdot 2)-\mathbf{j}(1\cdot 3-3\cdot(-1))+\mathbf{k}(1\cdot 2-2\cdot(-1)).
Calcule cada termo:
\mathbf{i}(6-6)=0\mathbf{i},
-\mathbf{j}(3+3)=-6\mathbf{j},
\mathbf{k}(2+2)=4\mathbf{k}.
Portanto
u\times v=(0,-6,4).

Passo 4

Calcular o produto escalar \overrightarrow{AB}\cdot(u\times v):
\overrightarrow{AB}\cdot(u\times v)=(-1,0,2)\cdot(0,-6,4)=(-1)\cdot 0 + 0\cdot(-6) + 2\cdot 4 = 8.
Tomamos o valor absoluto (já positivo): \big|\overrightarrow{AB}\cdot(u\times v)\big|=8.

Passo 5

Calcular a norma de u\times v:
\|u\times v\|=\sqrt{0^{2}+(-6)^{2}+4^{2}}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}.

Passo 6

Aplicar a fórmula da distância:
d=\frac{8}{2\sqrt{13}}=\frac{4}{\sqrt{13}}.
Se preferir racionalizar:
d=\frac{4\sqrt{13}}{13}.

Resposta

\dfrac{4}{\sqrt{13}}=\dfrac{4\sqrt{13}}{13}

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