Determine a distância entre os planos \pi_{1}: 2 x+y-z=1 e \pi_{2}: 12 x+6 y-6 z=4.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a distância entre os planos \pi_{1} e \pi_{2}.
Informações dadas:
\pi_{1}: 2x+y-z=1
\pi_{2}: 12x+6y-6z=4
Queremos a menor distância entre esses dois planos (ou seja, a distância medida ao longo da direção normal, já que a menor distância entre planos paralelos é ao longo da normal).

Passo 2

Vamos primeiro ver se os planos são paralelos: para isso comparamos os vetores normais.
O vetor normal de \pi_{1} é \mathbf{n}_1=(2,1,-1).
O vetor normal de \pi_{2} é \mathbf{n}_2=(12,6,-6).
Observe que \mathbf{n}_2=6\mathbf{n}_1, logo os vetores normais são proporcionais e os planos são paralelos. Isso confirma que existe uma distância constante entre eles (podemos calcular).

Passo 3

Escolho usar a fórmula da distância de um ponto a um plano, porque é simples e direta: se um plano está escrito na forma
ax+by+cz+d=0
e P=(x_0,y_0,z_0) é um ponto qualquer, então a distância de P ao plano é
\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
Explicação curta da fórmula: o numerador é o valor algébrico da função linear do plano avaliada em P (é proporcional à componente do vetor \overrightarrow{OP} na direção do normal) e o denominador normaliza pelo comprimento do vetor normal, resultando na distância geométrica (a projeção absoluta na direção normal).

Passo 4

Para aplicar a fórmula precisamos de um ponto em um dos planos; vamos achar um ponto em \pi_{1}. Tomo x=0 e y=0 e resolvo para z:
2\cdot 0 + 0 - z = 1 \quad\Rightarrow\quad -z=1 \quad\Rightarrow\quad z=-1.
Então um ponto em \pi_{1} é P=(0,0,-1).

Passo 5

Escrevo \pi_{2} na forma padrão ax+by+cz+d=0:
12x+6y-6z-4=0.
Aqui a=12, b=6, c=-6 e d=-4.

Passo 6

Agora aplico a fórmula da distância do ponto P=(0,0,-1) ao plano \pi_{2}:
Calculo o numerador:
|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d| =|12\cdot 0 + 6\cdot 0 + (-6)\cdot(-1) -4| =|6-4| =2.
Calculo o denominador (norma do vetor normal de \pi_{2}):
\sqrt{a^2+b^2+c^2} =\sqrt{12^2+6^2+(-6)^2} =\sqrt{144+36+36} =\sqrt{216} =6\sqrt{6}.
Portanto a distância é
\frac{2}{6\sqrt{6}}=\frac{1}{3\sqrt{6}}.
Racionalizando o denominador:
\frac{1}{3\sqrt{6}}\cdot\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{18}.

Passo 7

Verificação alternativa (consistência): podemos dividir a equação de \pi_{2} por 6 para ter o mesmo vetor normal de \pi_{1}:
\frac{1}{6}(12x+6y-6z-4)=2x+y-z-\tfrac{2}{3}=0.
As constantes das duas equações com o mesmo normal são -1 (para \pi_{1}, já que 2x+y-z-1=0) e -\tfrac{2}{3} (para \pi_{2} dividida por 6). A diferença absoluta é \left|-\tfrac{2}{3}-(-1)\right|=\tfrac{1}{3}, e dividindo pela norma \sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt{6} obtemos novamente
\frac{1/3}{\sqrt{6}}=\frac{1}{3\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{18},
confirmando o resultado.

Resposta

\dfrac{\sqrt{6}}{18}

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