Determine os pontos de máximo e mínimo globais (absolutos) de f em cada domínio D indicado:
f(x, y)=x \sqrt[3]{y}, D é o triângulo delimitado pelos pontos (0,0),(1,0) e (0,2)

Passo 1

O enunciado pede: determinar os pontos de máximo e mínimo globais (absolutos) da função f no domínio D, onde
f(x,y)=x\sqrt[3]{y}
e D é o triângulo com vértices (0,0), (1,0) e (0,2).
Informações relevantes dadas:
  • A função é f(x,y)=x\sqrt[3]{y}.
  • O domínio D é o triângulo fechado formado pelos pontos (0,0), (1,0) e (0,2). Logo D é compacto (fechado e limitado).
  • Em coordenadas: x\in[0,1] e y\in[0,2] com a condição da reta que liga (1,0) a (0,2) como uma das fronteiras.
O que será buscado: todos os pontos em D onde f atinge seu valor máximo global e seu valor mínimo global, e os respectivos valores de f.

Passo 2

Por que podemos procurar extremos? Explicação teórica curta e aplicada: uma função contínua num conjunto compacto atinge máximo e mínimo absolutos. Aqui f é contínua em pontos com y>0 e continua também quando considerada no triângulo incluindo as arestas (a raiz cúbica \sqrt[3]{y} é contínua em todo [0,2]). Como D é compacto, existem máximos e mínimos absolutos em D. Nossa estratégia será:
  1. Procurar pontos críticos no interior de D (onde derivadas parciais são zero ou não existem).
  2. Examinar a fronteira (as três arestas) parametrizando cada uma e resolvendo um problema de uma variável.

Passo 3

Procurando pontos críticos no interior de D.
Primeiro calculemos as derivadas parciais para y>0. Precisamos saber a derivada da função y^{1/3}: a regra de potência diz que, para h(y)=y^{\alpha}, h'(y)=\alpha y^{\alpha-1}. Aplicando com \alpha=\tfrac{1}{3} obtemos \frac{d}{dy}\sqrt[3]{y}=\frac{1}{3}y^{-2/3}.
Agora as derivadas parciais de f(x,y)=x\,y^{1/3} (para y>0):
\frac{\partial f}{\partial x}=\sqrt[3]{y}=y^{1/3},
\frac{\partial f}{\partial y}=x\cdot\frac{1}{3}y^{-2/3}=\frac{x}{3}y^{-2/3}.
Um ponto crítico interior satisfaria \frac{\partial f}{\partial x}=0 e \frac{\partial f}{\partial y}=0. Da primeira equação y^{1/3}=0 segue y=0, que não pertence ao interior (é fronteira). Da segunda, x=0 seria necessário; combinando daria (0,0), que está na fronteira. Além disso, \frac{\partial f}{\partial y} não está definida em y=0 (porque aparece y^{-2/3}), então pontos com y=0 são casos especiais a tratar na fronteira. Conclusão: não há pontos críticos no interior com y>0. Portanto todos os candidatos a extremos são pontos da fronteira do triângulo.

Passo 4

Análise das arestas (fronteira) do triângulo. Há três arestas:
  1. Aresta A: entre (0,0) e (1,0). Aqui y=0 e x\in[0,1].
  2. Aresta B: entre (0,0) e (0,2). Aqui x=0 e y\in[0,2].
  3. Aresta C (hipotenusa): entre (1,0) e (0,2). Aqui a reta tem equação y=-2x+2 (obtida passando a reta por (1,0) e (0,2)); sobre essa aresta x\in[0,1] e y=2(1-x).
Vamos examinar separadamente cada aresta.

Passo 5

Aresta A: y=0, x\in[0,1].
Substituindo em f:
f(x,0)=x\sqrt[3]{0}=x\cdot 0 = 0.
Portanto f vale 0 em toda a aresta A.
Aresta B: x=0, y\in[0,2].
Substituindo:
f(0,y)=0\cdot\sqrt[3]{y}=0.
Portanto f vale 0 em toda a aresta B.
Até agora vimos que f=0 em ambas as arestas que tocam o eixo y=0 e o eixo x=0. O valor mínimo pode ser 0 ou menor, mas note que \sqrt[3]{y}\ge 0 para y\in[0,2] e x\ge0 no triângulo, então f(x,y)\ge0 em todo D. Assim 0 é o menor possível e já é atingido em A e B. Concluímos provisoriamente que o mínimo global é 0, atingido em todas as arestas A e B (mais precisamente em todos os pontos com x=0 ou y=0 dentro do triângulo). Ainda precisamos verificar se existe algum valor maior que zero na aresta C para localizar o máximo.

Passo 6

Aresta C (hipotenusa): y=2(1-x), x\in[0,1].
Substituindo em f:
f(x,2(1-x))=x\sqrt[3]{2(1-x)}=2^{1/3}\,x(1-x)^{1/3}.
Definimos a função unidimensional
F(x)=2^{1/3}\,x(1-x)^{1/3},\qquad x\in[0,1].
Para encontrar máximos de F derivamos (podemos derivar g(x)=x(1-x)^{1/3} e multiplicar por 2^{1/3}, pois 2^{1/3} é constante).
Calcule g(x)=x(1-x)^{1/3}. Derivando (usando produto e a regra da potência):
g'(x)=(1-x)^{1/3} + x\cdot\frac{1}{3}(1-x)^{-2/3}\cdot(-1) = (1-x)^{1/3}-\frac{x}{3}(1-x)^{-2/3}.
Fatorando (1-x)^{-2/3} obtemos
g'(x)=(1-x)^{-2/3}\Big(1-x-\frac{x}{3}\Big)=(1-x)^{-2/3}\Big(1-\tfrac{4}{3}x\Big).
Como (1-x)^{-2/3}>0 para x\in[0,1), o sinal de g'(x) é o sinal de 1-\tfrac{4}{3}x. Assim a única raiz em [0,1] é
1-\tfrac{4}{3}x=0 \quad\Rightarrow\quad x=\tfrac{3}{4}.

Passo 7

Determinar se x=\tfrac{3}{4} dá máximo e calcular o valor.
Signo de g':
  • Para x<\tfrac{3}{4}, 1-\tfrac{4}{3}x>0 então g'>0 (função crescente).
  • Para x>\tfrac{3}{4}, 1-\tfrac{4}{3}x<0 então g'<0 (função decrescente).
Portanto g (e consequentemente F) tem um máximo local em x=\tfrac{3}{4}, que é também global em [0,1] porque F(0)=F(1)=0 e F\ge0. Logo o máximo em toda a aresta C ocorre em x=\tfrac{3}{4}.
Calcule o y correspondente:
y=2(1-x)=2\Big(1-\tfrac{3}{4}\Big)=2\cdot\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{2}.
Calcule o valor máximo:
f\Big(\tfrac{3}{4},\tfrac{1}{2}\Big)=\tfrac{3}{4}\sqrt[3]{\tfrac{1}{2}}=\frac{3}{4}\,2^{-1/3}=\frac{3}{4\cdot 2^{1/3}}.

Passo 8

Compare os candidatos:
  • Em toda a aresta A e B temos f=0, que é mínimo global (pois f\ge0 em D).
  • Em pontos interiores da aresta C temos valores positivos; o maior desses valores é \dfrac{3}{4\cdot 2^{1/3}} em \Big(\dfrac{3}{4},\dfrac{1}{2}\Big).
  • Não há outros candidatos (nenhum interior crítico com y>0).
Conclusão: mínimo global é 0 atingido em todos os pontos de D com x=0 ou y=0 (as duas arestas que se encontram em (0,0)); máximo global é \dfrac{3}{4\cdot 2^{1/3}} atingido no ponto \Big(\dfrac{3}{4},\dfrac{1}{2}\Big).

Resposta

Máximo global: \displaystyle f\Big(\tfrac{3}{4},\tfrac{1}{2}\Big)=\dfrac{3}{4\cdot 2^{1/3}} atingido em \Big(\tfrac{3}{4},\tfrac{1}{2}\Big).
Mínimo global: \displaystyle 0 atingido em todos os pontos de D com x=0 ou y=0 (isto é, na aresta entre (0,0) e (1,0) e na aresta entre (0,0) e (0,2)).

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