Determine os pontos de máximo e mínimo globais (absolutos) de
em cada domínio
indicado:
é o triângulo delimitado pelos pontos
e
Passo 1
O enunciado pede: determinar os pontos de máximo e mínimo globais (absolutos) da função
no domínio
, onde
e
é o triângulo com vértices
,
e
.
Informações relevantes dadas:
- A função é
. - O domínio
é o triângulo fechado formado pelos pontos , e . Logo é compacto (fechado e limitado). - Em coordenadas:
e com a condição da reta que liga a como uma das fronteiras.
O que será buscado: todos os pontos em
onde
atinge seu valor máximo global e seu valor mínimo global, e os respectivos valores de
.
Passo 2
Por que podemos procurar extremos? Explicação teórica curta e aplicada: uma função contínua num conjunto compacto atinge máximo e mínimo absolutos. Aqui
é contínua em pontos com
e continua também quando considerada no triângulo incluindo as arestas (a raiz cúbica
é contínua em todo
). Como
é compacto, existem máximos e mínimos absolutos em
. Nossa estratégia será:
- Procurar pontos críticos no interior de
(onde derivadas parciais são zero ou não existem). - Examinar a fronteira (as três arestas) parametrizando cada uma e resolvendo um problema de uma variável.
Passo 3
Procurando pontos críticos no interior de
.
Primeiro calculemos as derivadas parciais para
. Precisamos saber a derivada da função
: a regra de potência diz que, para
,
. Aplicando com
obtemos
.
Agora as derivadas parciais de
(para
):
Um ponto crítico interior satisfaria
e
. Da primeira equação
segue
, que não pertence ao interior (é fronteira). Da segunda,
seria necessário; combinando daria
, que está na fronteira. Além disso,
não está definida em
(porque aparece
), então pontos com
são casos especiais a tratar na fronteira. Conclusão: não há pontos críticos no interior com
. Portanto todos os candidatos a extremos são pontos da fronteira do triângulo.
Passo 4
Análise das arestas (fronteira) do triângulo. Há três arestas:
- Aresta A: entre
e . Aqui e . - Aresta B: entre
e . Aqui e . - Aresta C (hipotenusa): entre
e . Aqui a reta tem equação (obtida passando a reta por e ); sobre essa aresta e .
Vamos examinar separadamente cada aresta.
Passo 5
Aresta A:
,
.
Substituindo em
:
Portanto
vale
em toda a aresta A.
Aresta B:
,
.
Substituindo:
Portanto
vale
em toda a aresta B.
Até agora vimos que
em ambas as arestas que tocam o eixo
e o eixo
. O valor mínimo pode ser
ou menor, mas note que
para
e
no triângulo, então
em todo
. Assim
é o menor possível e já é atingido em A e B. Concluímos provisoriamente que o mínimo global é
, atingido em todas as arestas A e B (mais precisamente em todos os pontos com
ou
dentro do triângulo). Ainda precisamos verificar se existe algum valor maior que zero na aresta C para localizar o máximo.
Passo 6
Aresta C (hipotenusa):
,
.
Substituindo em
:
Definimos a função unidimensional
Para encontrar máximos de
derivamos (podemos derivar
e multiplicar por
, pois
é constante).
Calcule
. Derivando (usando produto e a regra da potência):
Fatorando
obtemos
Como
para
, o sinal de
é o sinal de
. Assim a única raiz em
é
Passo 7
Determinar se
dá máximo e calcular o valor.
Signo de
:
- Para
, então (função crescente). - Para
, então (função decrescente).
Portanto
(e consequentemente
) tem um máximo local em
, que é também global em
porque
e
. Logo o máximo em toda a aresta C ocorre em
.
Calcule o
correspondente:
Calcule o valor máximo:
Passo 8
Compare os candidatos:
- Em toda a aresta A e B temos
, que é mínimo global (pois em ). - Em pontos interiores da aresta C temos valores positivos; o maior desses valores é
em . - Não há outros candidatos (nenhum interior crítico com
).
Conclusão: mínimo global é
atingido em todos os pontos de
com
ou
(as duas arestas que se encontram em
); máximo global é
atingido no ponto
.
Resposta
Máximo global:
atingido em
.
Mínimo global: atingido em todos os pontos de
com
ou
(isto é, na aresta entre
e
e na aresta entre
e
).
Mínimo global: