Determine a divergência dos campos vetoriais abaixo:
u=(rho sen phi) rho+(rho^2 z) phi+(z cos phi) z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a divergência de um campo vetorial dado em coordenadas cilíndricas, cujo conteúdo de matéria é o operador divergência em (rho,phi,z) . Vamos usar a fórmula da divergência em coordenadas cilíndricas:
nablacdotA = 1rhopartialpartial rho(rho Arho) + 1rhopartial Aphipartial phi + partial Azpartial z

Passo 2

Identificamos os componentes do campo:
Arho = rhosinphi, Aphi = rho^2z, Az = zcosphi

Passo 3

Calculamos o primeiro termo:
1rhopartialpartial rhol(rho,Arhor) = 1rhopartialpartial rhol(rhocdot(rhosinphi)r) = 1rhopartialpartial rho(rho^2sinphi) = 1rhol(2rhosinphir) = 2sinphi

Passo 4

Calculamos o segundo termo:
1rhopartial Aphipartial phi = 1rhopartialpartial phi(rho^2z) = 1rhocdot 0 = 0,
pois rho^2z não depende de phi.

Passo 5

Calculamos o terceiro termo:
partial Azpartial z = partialpartial z(zcosphi) = cosphi

Passo 6

Somando os três termos, obtemos a divergência:
nablacdotu = 2sinphi + 0 + cosphi = 2sinphi + cosphi

Resposta

A divergência do campo é
nablacdotu = 2sinphi + cosphi

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