Questão 2) (2,5) Uma massa de 500 g oscila como um pêndulo, suspensa por um barbante de 60 cm . Observa-se que a amplitude decai para a metade de seu valor inicial após 35,0 s. (a) Qual é a constante de amortecimento? (b) Em que tempo a energia decairá para metade de seu valor inicial?

Passo 1

O enunciado descreve um pêndulo amortecido de massa m=0,500,kg e comprimento L=0,60,m, cuja amplitude A(t) decresce para metade do valor inicial em t=35,0,s. O conteúdo aqui é amortecimento linear em oscilador harmônico, cuja solução para a amplitude é
A(t)=A0expl(-tfracb2mtr),
onde b é a constante de amortecimento (em kg/s). Para a energia E(t)propto A^2(t) temos
E(t)=E0expl(-tfracbmtr)

Passo 2

Usando a condição de que A(35)=tfrac12A0, impomos
A(35)A0 =expl(-tfracb2mcdot 35r) =tfrac12
Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
-tfracb2mcdot 35 = lnl(tfrac12r) = -ln2 Longrightarrow tfracb2m = ln235

Passo 3

Isolando b:
b = 2m,ln235 = 2cdot 0,500;ln235 = ln235 kg/s approx 0,0198 kg/s

Passo 4

Para a energia, como
E(t)=E0expl(-tfracbmtr),
queremos E(t)=tfrac12E0, ou seja
expl(-tfracbmtr)=tfrac12 Longrightarrow -tfracbmt = -ln2 Longrightarrow t = mb,ln2
Substituindo m=0,500,kg e b=0,0198,kg/s:
t = 0,5000,0198ln2 approx 17,5 s

Resposta

(a) bapprox0,0198 kg/s
(b) tapprox17,5 s

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