Determine dois pares de coordenadas polares, com r de sinais opostos, para os pontos com as seguintes coordenadas cartesianas:
(c)
$(2 \sqrt{3}, 2);

Passo 1

O enunciado pede para converter o ponto dado em coordenadas cartesianas (x,y)=(2\sqrt{3},2) em dois pares de coordenadas polares, sendo que um deve ter r positivo e o outro r negativo. Vamos usar as fórmulas
r = \sqrt{x^2+y^2}, \quad \theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr),
e lembrar que trocar o sinal de r equivale a somar \pi em \theta.

Passo 2

Calculamos o raio:
r = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4.

Passo 3

Como x>0 e y>0, o ângulo principal é
\theta = \arctan\!\Bigl(\frac{2}{2\sqrt{3}}\Bigr) = \arctan\!\Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}\Bigr) = \frac{\pi}{6}.
Logo um par polar com r>0 é (4,\tfrac{\pi}{6}).

Passo 4

Para obter um par com r<0, basta trocar r por -r e somar \pi a \theta:
r' = -4, \quad \theta' = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}.

Resposta

(4,\tfrac{\pi}{6})
(-4,\tfrac{7\pi}{6})

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