Determine dois pares de coordenadas polares, com r de sinais opostos, para os pontos com as seguintes coordenadas cartesianas:
(d)
$(2,2 \sqrt{3});

Passo 1

O enunciado pede para converter o ponto dado em coordenadas cartesianas (x,y)=(2,2\sqrt{3}) em duas representações polares (r,\theta), sendo uma com r>0 e outra com r<0. Para isso usamos as fórmulas
r = \sqrt{x^2 + y^2},
\theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr),
ajustando o quadrante conforme o sinal de x e y.

Passo 2

Calcular o módulo r:
r = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = 4.

Passo 3

Determinar o ângulo \theta:
\tan\theta = \frac{y}{x} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}
e como x>0 e y>0, \theta está no primeiro quadrante, logo
\theta = \frac{\pi}{3}.

Passo 4

A primeira representação polar, com r>0, é
(r,\theta) = \bigl(4,\;\tfrac{\pi}{3}\bigr).

Passo 5

Para obter uma representação com r<0, basta usar
r' = -4,
\theta' = \theta + \pi = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}.
Assim obtemos
(r',\theta') = \bigl(-4,\;\tfrac{4\pi}{3}\bigr).

Resposta

(4,\;\tfrac{\pi}{3}) \quad\text{e}\quad (-4,\;\tfrac{4\pi}{3})

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