Determine dois pares de coordenadas polares, com r de sinais opostos, para os pontos com as seguintes coordenadas cartesianas:
(l)
$(-3,4);

Passo 1

O enunciado pede para converter o ponto P(-3,4) de coordenadas cartesianas para coordenadas polares (r,\theta).
Conteúdo necessário:
  • r=\sqrt{x^2+y^2}
  • \theta satisfaz \tan\theta = y/x, ajustando-se o valor de \theta ao quadrante correto.

Passo 2

Calcular o módulo r:
r = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5.

Passo 3

Determinar o ângulo \theta. Como x=-3 e y=4, temos
\tan\theta = \frac{4}{-3} = -\frac{4}{3}.
O valor principal \arctan(-4/3) cai no quarto quadrante (ângulo negativo), mas o ponto está no segundo quadrante. Então adicionamos \pi:
\theta = \pi + \arctan\!\bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr) = \pi - \arctan\!\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr).
Logo, uma representação polar é
\bigl(r,\theta\bigr) = \bigl(5,\;\pi - \arctan\tfrac{4}{3}\bigr).

Passo 4

Para obter uma segunda representação com r de sinal oposto, usamos
r' = -r = -5, \quad \theta' = \theta + \pi = \bigl(\pi - \arctan\tfrac{4}{3}\bigr) + \pi = 2\pi - \arctan\tfrac{4}{3}.
Dessa forma, o segundo par é
\bigl(r',\theta'\bigr) = \bigl(-5,\;2\pi - \arctan\tfrac{4}{3}\bigr).

Resposta

(5,\;\pi - \arctan\tfrac{4}{3}) \quad\text{e}\quad (-5,\;2\pi - \arctan\tfrac{4}{3}).

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