Determine dois pares de coordenadas polares, com r de sinais opostos, para os pontos com as seguintes coordenadas cartesianas:
(5,5);

Passo 1

O enunciado pede para converter as coordenadas cartesianas (5,5) em dois pares de coordenadas polares (r,\theta) em que um tenha r>0 e o outro r<0. Vamos usar a definição
r=\sqrt{x^2+y^2},\quad \theta=\arctan\frac{y}{x}
para encontrar o par com r>0 e depois gerar o par com r<0 usando a equivalência (r,\theta)\sim(-r,\theta+\pi).

Passo 2

Calcular o raio r:
r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = 5\sqrt{2}.

Passo 3

Calcular o ângulo \theta:
\theta = \arctan\frac{y}{x} = \arctan\frac{5}{5} = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}.

Passo 4

Logo, um par de coordenadas polares com r>0 é
(r,\theta) = \bigl(5\sqrt{2},\,\tfrac{\pi}{4}\bigr).

Passo 5

Para obter um par com r<0, usamos
(-r,\theta+\pi) = \Bigl(-5\sqrt{2},\,\tfrac{\pi}{4} + \pi\Bigr) = \Bigl(-5\sqrt{2},\,\tfrac{5\pi}{4}\Bigr).

Resposta

(5\sqrt{2},\,\tfrac{\pi}{4})
(-5\sqrt{2},\,\tfrac{5\pi}{4})

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