Determine dois pares de coordenadas polares, com r de sinais opostos, para os pontos com as seguintes coordenadas cartesianas:
(5,-12);

Passo 1

O enunciado pede para converter o ponto de coordenadas cartesianas (5,-12) em coordenadas polares, dando dois pares (r,\theta) em que r tenha sinais opostos. Para isso vamos usar as fórmulas
r=\sqrt{x^2+y^2}, \quad \theta=\arctan\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)
ajustando \theta ao quadrante certo, e em seguida obter o segundo par trocando r\to -r e somando \pi em \theta.

Passo 2

Calculemos o módulo
r=\sqrt{5^2+(-12)^2} =\sqrt{25+144} =\sqrt{169} =13.

Passo 3

O argumento principal \theta satisfaz
\tan\theta=\frac{y}{x}=\frac{-12}{5}.
Isso dá \theta_0=\arctan\bigl(-\tfrac{12}{5}\bigr). Como (5,-12) fica no quarto quadrante, podemos usar
\theta=\theta_0+2\pi =2\pi-\arctan\!\bigl(\tfrac{12}{5}\bigr).

Passo 4

Um par de coordenadas polares com r>0 é
\bigl(r,\theta\bigr) =\Bigl(13,\;2\pi-\arctan\!\bigl(\tfrac{12}{5}\bigr)\Bigr).

Passo 5

Para obter um par com r<0, basta trocar r\to -r e somar \pi a \theta. Logo
r'=-13, \quad \theta'=\Bigl(2\pi-\arctan\!\tfrac{12}{5}\Bigr)+\pi =\pi-\arctan\!\tfrac{12}{5} \pmod{2\pi}.

Resposta

\bigl(13,\;2\pi-\arctan\!\tfrac{12}{5}\bigr) \quad\text{e}\quad \bigl(-13,\;\pi-\arctan\!\tfrac{12}{5}\bigr).

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