Determine dois vetores unitários que sejam perpendiculares ao plano determinado pelos pontos A(0,-2,1), B(1,-1,-2) e C(-1,1,0).

Passo 1

O enunciado dá três pontos do espaço e pede vetores unitários perpendiculares ao plano determinado por eles.
Informações fornecidas:
  • Ponto A(0,-2,1).
  • Ponto B(1,-1,-2).
  • Ponto C(-1,1,0).
O que é pedido:
  • Dois vetores unitários (ou seja, de comprimento 1) que sejam perpendiculares ao plano que passa por A,B,C. Note que, por direção, haverá exatamente dois (opostos entre si): \mathbf{u} e -\mathbf{u}.

Passo 2

Primeiro passo prático: construir dois vetores que pertençam ao plano. Pegamos os vetores que ligam A a B e A a C.
Calcular \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}:
\overrightarrow{AB}=B-A=(1-0,\,-1-(-2),\,-2-1)
\overrightarrow{AB}=(1,\,1,\,-3)
\overrightarrow{AC}=C-A=(-1-0,\;1-(-2),\;0-1)
\overrightarrow{AC}=(-1,\,3,\,-1)
Explicando: \overrightarrow{AB} é o vetor cujas componentes são as diferenças coordenada a coordenada entre B e A. Mesmo para \overrightarrow{AC}.

Passo 3

Para obter um vetor perpendicular ao plano, usamos o produto vetorial (cross product) entre dois vetores do próprio plano. O produto vetorial de \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3) é o vetor
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\bigl(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1\bigr).
Aqui, \mathbf{a}\times\mathbf{b} é ortogonal a \mathbf{a} e a \mathbf{b}.
Aplicando com \mathbf{a}=\overrightarrow{AB}=(1,1,-3) e \mathbf{b}=\overrightarrow{AC}=(-1,3,-1):
Calcular coordenadas do normal \mathbf{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}:
n_x = 1\cdot(-1) - (-3)\cdot 3 = -1 - (-9) = 8,
n_y = (-3)\cdot(-1) - 1\cdot(-1) = 3 - (-1) = 4,
n_z = 1\cdot 3 - 1\cdot(-1) = 3 - (-1) = 4.
Portanto
\mathbf{n}=(8,\,4,\,4).
Comentário didático: \mathbf{n} é um vetor perpendicular ao plano formado por A,B,C. Poderíamos também ter calculado \overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AB}, que daria o vetor oposto -\mathbf{n}.

Passo 4

Agora precisamos transformar \mathbf{n} em um vetor unitário. Para isso calculamos o comprimento (norma) de \mathbf{n}. A norma de um vetor \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3) é
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}.
Calcular \|\mathbf{n}\|:
\|\mathbf{n}\|=\sqrt{8^2+4^2+4^2}=\sqrt{64+16+16}=\sqrt{96}.
Fatorando \sqrt{96}=\sqrt{16\cdot 6}=4\sqrt{6}. Logo
\|\mathbf{n}\|=4\sqrt{6}.

Passo 5

O vetor unitário na direção de \mathbf{n} é \dfrac{\mathbf{n}}{\|\mathbf{n}\|}. Então:
\mathbf{u}=\frac{1}{4\sqrt{6}}(8,\,4,\,4).
Podemos simplificar dividindo por 4:
\mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{6}}(2,\,1,\,1).
Como explicado no Passo 3, o outro vetor unitário perpendicular ao plano é o oposto:
-\mathbf{u}=-\frac{1}{\sqrt{6}}(2,\,1,\,1).

Passo 6

Resumo e verificação rápida (para ficar seguro): multiplicando a coordenada por coordenada e calculando a norma confirmamos que \|\mathbf{u}\|=1:
\left\|\frac{1}{\sqrt{6}}(2,1,1)\right\|=\frac{1}{\sqrt{6}}\sqrt{2^2+1^2+1^2}=\frac{1}{\sqrt{6}}\sqrt{4+1+1}=\frac{1}{\sqrt{6}}\sqrt{6}=1.
Portanto os dois vetores unitários perpendiculares ao plano são \dfrac{1}{\sqrt{6}}(2,1,1) e seu oposto.

Resposta

\dfrac{1}{\sqrt{6}}(2,1,1)
-\dfrac{1}{\sqrt{6}}(2,1,1)

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