Modelo de crescimento logístico (aplicação)
  • O crescimento populacional com capacidade de carga K e taxa r é dado pela logística: \mathrm{dP} / \mathrm{dt}=\mathrm{r} \mathrm{P}(1-\mathrm{P} / \mathrm{K}). (a) Resolva a EDO com condição \mathrm{P}(0)=\mathrm{PO}(0<\mathrm{PO}<\mathrm{K}). (b) Interprete a solução e explique comportamento assintótico quando t \rightarrow \infty. (c) Calcule o tempo necessário para que \mathrm{P}(\mathrm{t}) atinja K/2 (tempo de meia-saturação).

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial ordinária (EDO) logística e pede três coisas:
  • A EDO: \dfrac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}=r\,P\!\left(1-\dfrac{P}{K}\right).
  • Condição inicial: P(0)=P_0 com 0<P_0<K.
    As perguntas são:
    (a) Resolver a EDO com a condição inicial dada (achar P(t)).
    (b) Interpretar a solução e descrever o comportamento quando t\to\infty.
    (c) Calcular o tempo necessário para que P(t) atinja K/2 (tempo de meia-saturação).
Informações relevantes dadas:
  • r é a taxa intrínseca de crescimento (assume-se r>0).
  • K é a capacidade de carga (assume-se K>0).
  • P_0 é a população inicial com 0<P_0<K.

Passo 2

Vamos resolver a EDO por separação de variáveis (método básico e direto).
A EDO é
\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}=r\,P\!\left(1-\frac{P}{K}\right).
Passo de separação: colocamos todos os termos em P de um lado e t do outro. Observe que
1-\frac{P}{K}=\frac{K-P}{K},
então
\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}=r\,P\cdot\frac{K-P}{K}=\frac{r}{K}\,P(K-P).
Isolando:
\frac{\mathrm{d}P}{P(K-P)}=\frac{r}{K}\,\mathrm{d}t.
Agora integramos ambos os lados em relação às suas variáveis.

Passo 3

Integração do lado em P usando frações parciais. Primeiro factor constante:
\int \frac{\mathrm{d}P}{P(K-P)}=\int \frac{K}{P(K-P)}\cdot\frac{1}{K}\,\mathrm{d}P=\frac{1}{K}\int \frac{K}{P(K-P)}\,\mathrm{d}P.
Mas é mais simples notar diretamente que
\frac{K}{P(K-P)}=\frac{1}{P}+\frac{1}{K-P}.
Verificação rápida (útil em prova): multiplicando \frac{1}{P}+\frac{1}{K-P} por P(K-P) K. Então
\int \frac{\mathrm{d}P}{P(K-P)}=\int\left(\frac{1}{P}+\frac{1}{K-P}\right)\frac{1}{K}\,\mathrm{d}P =\frac{1}{K}\left(\ln|P|-\ln|K-P|\right)+C.
Como 0<P<K, podemos tirar os valores absolutos e escrever
\int \frac{\mathrm{d}P}{P(K-P)}=\frac{1}{K}\ln\!\left(\frac{P}{K-P}\right)+C.

Passo 4

Agora integramos o lado em t e igualamos as integrais:
\frac{1}{K}\ln\!\left(\frac{P}{K-P}\right)=\int \frac{r}{K}\,\mathrm{d}t=\frac{r}{K}t+C.
Multiplicando por K para simplificar:
\ln\!\left(\frac{P}{K-P}\right)=r t + C_1,
onde C_1=K C é constante. Exponenciando:
\frac{P}{K-P}=C_2 e^{r t},
com C_2=e^{C_1} uma constante positiva.

Passo 5

Isolamos P em função de t. Da igualdade anterior:
P = C_2 e^{r t}(K-P).
Agrupando os termos em P:
P\big(1+C_2 e^{r t}\big)=C_2 K e^{r t}.
Logo
P(t)=\frac{C_2 K e^{r t}}{1+C_2 e^{r t}}=\frac{K}{1+\dfrac{1}{C_2}e^{-r t}}.
Para aplicar a condição inicial P(0)=P_0 encontramos C_2:
\frac{P_0}{K-P_0}=C_2.
Portanto \dfrac{1}{C_2}=\dfrac{K-P_0}{P_0}. Denotando A=\dfrac{K-P_0}{P_0}>0, obtemos a forma clássica:

Passo 6

Solução final (parte (a)):
P(t)=\frac{K}{1+A e^{-r t}}\quad\text{com}\quad A=\frac{K-P_0}{P_0}.
Ou explicitamente, substituindo A:
\boxed{\,P(t)=\dfrac{K}{1+\left(\dfrac{K-P_0}{P_0}\right)e^{-r t}}\, }.
Esta é a solução logística que se costuma memorizar. Aqui r>0, K>0 e 0<P_0<K.

Passo 7

Interpretação da solução e comportamento assintótico (parte (b)):
  • Forma da curva: P(t) é uma função sigmoide (curva em S). Começa perto de 0 para t negativo muito grande, cresce aproximadamente exponencialmente quando P é pequeno, desacelera à medida que P se aproxima de K e tende assintoticamente para K.
  • Limite quando t\to\infty: como e^{-r t}\to 0, da solução segue
\lim_{t\to\infty}P(t)=\frac{K}{1+0}=K.
Portanto K é um equilíbrio estável (população tende a K).
  • Equilíbrios da EDO: resolver rP(1-P/K)=0 P=0 e P=K. Para 0<P_0<K a derivada \dfrac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}=rP(1-P/K) é positiva (pois P>0 e 1-P/K>0), então P(t) é monótona crescente em t até K.
  • Estabilidade intuitiva: se P é pequeno ( P\approx0) então \dfrac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}\approx rP>0 e a população cresce (portanto P=0 é instável). Se P está ligeiramente acima de K, a taxa fica negativa e a população decai para K (logo K é estável).

Passo 8

Cálculo do tempo de meia-saturação (parte (c)). Queremos \tau tal que P(\tau)=K/2. Usando a solução:
\frac{K}{1+A e^{-r\tau}}=\frac{K}{2}.
Cancelando K e resolvendo:
1+A e^{-r\tau}=2 \quad\Rightarrow\quad A e^{-r\tau}=1.
Logo
e^{-r\tau}=\frac{1}{A}\quad\Rightarrow\quad -r\tau=\ln\!\left(\frac{1}{A}\right)=-\ln A.
Portanto
\tau=\frac{1}{r}\ln A=\frac{1}{r}\ln\!\left(\frac{K-P_0}{P_0}\right).

Passo 9

Interpretação do tempo \tau:
  • Como 0<P_0<K, A=(K-P_0)/P_0>0.
  • Se P_0<K/2 então A>1 e \tau>0: a meia-saturação ocorre no futuro (tempo positivo).
  • Se P_0=K/2 então A=1 e \tau=0: já está na meia-saturação no instante inicial.
  • Se P_0>K/2 então A<1 e \tau<0: a curva já ultrapassou K/2 antes de t=0 (portanto o tempo positivo para alcançá-la não existe — já foi atingida).

Resposta

(a) \displaystyle P(t)=\frac{K}{1+\left(\dfrac{K-P_0}{P_0}\right)e^{-r t}}.
(b) A solução é uma curva sigmoide; para 0<P_0<K a função é monótona crescente e \displaystyle\lim_{t\to\infty}P(t)=K (equilíbrio estável), enquanto P=0 é equilíbrio instável.
(c) \displaystyle \tau=\frac{1}{r}\ln\!\left(\frac{K-P_0}{P_0}\right) (para P_0<K/2 isso é positivo; se P_0=K/2 então \tau=0; se P_0>K/2 então \tau<0).

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