Modelo de crescimento logístico (aplicação)
- O crescimento populacional com capacidade de carga K e taxa r é dado pela logística:
. (a) Resolva a EDO com condição
. (b) Interprete a solução e explique comportamento assintótico quando
. (c) Calcule o tempo necessário para que
atinja K/2 (tempo de meia-saturação).
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial ordinária (EDO) logística e pede três coisas:
- A EDO:
. - Condição inicial:
com .
As perguntas são:
(a) Resolver a EDO com a condição inicial dada (achar).
(b) Interpretar a solução e descrever o comportamento quando.
(c) Calcular o tempo necessário para queatinja (tempo de meia-saturação).
Informações relevantes dadas:
-
é a taxa intrínseca de crescimento (assume-se ). -
é a capacidade de carga (assume-se ). -
é a população inicial com .
Passo 2
Vamos resolver a EDO por separação de variáveis (método básico e direto).
A EDO é
A EDO é
Passo de separação: colocamos todos os termos em
de um lado e
do outro. Observe que
então
Isolando:
Agora integramos ambos os lados em relação às suas variáveis.
Passo 3
Integração do lado em
usando frações parciais. Primeiro factor constante:
Mas é mais simples notar diretamente que
Verificação rápida (útil em prova): multiplicando
por
dá
. Então
Como
, podemos tirar os valores absolutos e escrever
Passo 4
Agora integramos o lado em
e igualamos as integrais:
Multiplicando por
para simplificar:
onde
é constante. Exponenciando:
com
uma constante positiva.
Passo 5
Isolamos
em função de
. Da igualdade anterior:
Agrupando os termos em
:
Logo
Para aplicar a condição inicial
encontramos
:
Portanto
. Denotando
, obtemos a forma clássica:
Passo 6
Solução final (parte (a)):
Ou explicitamente, substituindo
:
Esta é a solução logística que se costuma memorizar. Aqui
,
e
.
Passo 7
Interpretação da solução e comportamento assintótico (parte (b)):
- Forma da curva:
é uma função sigmoide (curva em S). Começa perto de para negativo muito grande, cresce aproximadamente exponencialmente quando é pequeno, desacelera à medida que se aproxima de e tende assintoticamente para . - Limite quando
: como , da solução segue
Portanto
é um equilíbrio estável (população tende a
).
- Equilíbrios da EDO: resolver
dá e . Para a derivada é positiva (pois e ), então é monótona crescente em até . - Estabilidade intuitiva: se
é pequeno ( ) então e a população cresce (portanto é instável). Se está ligeiramente acima de , a taxa fica negativa e a população decai para (logo é estável).
Passo 8
Cálculo do tempo de meia-saturação (parte (c)). Queremos
tal que
. Usando a solução:
Cancelando
e resolvendo:
Logo
Portanto
Passo 9
Interpretação do tempo
:
- Como
, . - Se
então e : a meia-saturação ocorre no futuro (tempo positivo). - Se
então e : já está na meia-saturação no instante inicial. - Se
então e : a curva já ultrapassou antes de (portanto o tempo positivo para alcançá-la não existe — já foi atingida).
Resposta
(a)
.
(b) A solução é uma curva sigmoide; para a função é monótona crescente e
(equilíbrio estável), enquanto
é equilíbrio instável.
(c) (para
isso é positivo; se
então
; se
então
).
(b) A solução é uma curva sigmoide; para
(c)