Seja C o conjunto das duplas de números reais ( x_{1}, x_{2} ) onde a soma de dois elementos é definida como
\left(x_{1}, x_{2}\right)+\left(y_{1}, y_{2}\right)=\left(x_{1}+y_{1}, x_{2}+y_{2}\right)
e o produto de dois elementos como
\left(x_{1}, x_{2}\right) \cdot\left(y_{1}, y_{2}\right)=\left(x_{1} \cdot y_{1}-x_{2} \cdot y_{2}, x_{1} \cdot y_{2}+x_{2} \cdot y_{1}\right)
O elemento neutro da adição (ou nulo) é ( 0,0 ), e o elemento negativo de ( x_{1}, x_{2} ) é ( -x_{1},-x_{2} ). O elemento neutro da multiplicação é ( 1,0 ) e o elemento inverso de ( x_{1}, x_{2} ) é
\left(x_{1}, x_{2}\right)^{-1}=\left(\frac{x_{1}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}, \frac{-x_{2}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}\right)
Verifique se o conjunto C é um corpo. Caso não seja, identifique quais axiomas não são satisfeitos.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado define o conjunto C=\{(x_{1},x_{2})\mid x_{1},x_{2}\in\mathbb{R}\} com duas operações:
    • soma: \left(x_{1},x_{2}\right)+\left(y_{1},y_{2}\right)=\left(x_{1}+y_{1},\,x_{2}+y_{2}\right).
    • produto: \left(x_{1},x_{2}\right)\cdot\left(y_{1},y_{2}\right)=\left(x_{1}y_{1}-x_{2}y_{2},\,x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\right).
  • O enunciado também informa os elementos neutros e o inverso multiplicativo:
    • neutro aditivo: (0,0),
    • neutro multiplicativo: (1,0),
    • inverso aditivo de (x_{1},x_{2}) é (-x_{1},-x_{2}),
    • inverso multiplicativo proposto: \left(x_{1},x_{2}\right)^{-1}=\left(\dfrac{x_{1}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}},\,\dfrac{-x_{2}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}\right) (quando x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\neq0).
O que o problema pede:
  • Verificar se C com essas operações é um corpo (campo).
  • Se não for, indicar quais axiomas de corpo não são satisfeitos.

Passo 2

Plano do que vou verificar (lista das propriedades de corpo a checar).
Para C ser um corpo preciso checar (vou explicando cada uma):
  1. Fechamento das operações (soma e produto).
  2. Associatividade da soma e do produto.
  3. Comutatividade da soma e do produto.
  4. Existência do neutro aditivo e do neutro multiplicativo.
  5. Existência de inverso aditivo para todo elemento.
  6. Existência de inverso multiplicativo para todo elemento não-nulo (ou seja, para todo elemento diferente de (0,0)).
  7. Distributividade do produto sobre a soma.
Vou verificar cada item explicitamente usando notação curta e explicando o raciocínio.

Passo 3

Fechamento das operações e explicação do que isso significa.
  • Fechamento da soma: se (x_{1},x_{2}), (y_{1},y_{2})\in C então x_{1}+y_{1}\in\mathbb{R} e x_{2}+y_{2}\in\mathbb{R}. Logo \left(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2}\right)\in C. Portanto a soma é fechada.
  • Fechamento do produto: se (x_{1},x_{2}), (y_{1},y_{2})\in C então x_{1}y_{1}-x_{2}y_{2}\in\mathbb{R} e x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\in\mathbb{R}. Logo \left(x_{1}y_{1}-x_{2}y_{2},\,x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\right)\in C. Portanto o produto é fechado.
Comentário didático: fechamento é a propriedade básica que garante que ao somar ou multiplicar dois elementos do conjunto não “saímos” do conjunto — aqui como estamos em pares de reais isso é imediato.

Passo 4

Propriedades da adição: associatividade, comutatividade, neutro e inverso aditivo.
  • Associatividade da soma: para a=(a_{1},a_{2}),\,b=(b_{1},b_{2}),\,c=(c_{1},c_{2}) calcule (a+b)+c=((a_{1}+b_{1})+c_{1},\,(a_{2}+b_{2})+c_{2})=(a_{1}+(b_{1}+c_{1}),\,a_{2}+(b_{2}+c_{2}))=a+(b+c).Como a soma em \mathbb{R} é associativa, a soma em C também é.
  • Comutatividade da soma: a+b=(a_{1}+b_{1},\,a_{2}+b_{2})=(b_{1}+a_{1},\,b_{2}+a_{2})=b+a.
  • Neutro aditivo: (0,0) satisfaz a+(0,0)=(a_{1}+0,\,a_{2}+0)=(a_{1},a_{2})=a.
  • Inverso aditivo: (-a_{1},-a_{2}) satisfaz a+(-a)=(a_{1}-a_{1},\,a_{2}-a_{2})=(0,0).
Comentário didático: estas propriedades são quase tautológicas porque a adição é definida componente a componente, então tudo depende da adição usual em \mathbb{R}.

Passo 5

Comutatividade do produto.
Sejam a=(a_{1},a_{2}) e b=(b_{1},b_{2}). Calcule os dois produtos:
a\cdot b=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2},\,a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}),
b\cdot a=(b_{1}a_{1}-b_{2}a_{2},\,b_{1}a_{2}+b_{2}a_{1}).
Usando comutatividade do produto real ( a_{1}b_{1}=b_{1}a_{1}, etc.) os componentes são iguais termo a termo, logo a\cdot b=b\cdot a.
Didática rápida: multiplicação é simétrica em a e b devido às combinações lineares que aparecem — por isso é comutativa.

Passo 6

Associatividade do produto (etapa mais trabalhosa — mostrar com expansão).
Sejam a=(a_{1},a_{2}),\,b=(b_{1},b_{2}),\,c=(c_{1},c_{2}).
Primeiro compute a\cdot b:
a\cdot b=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2},\,a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}).
Agora calcule (a\cdot b)\cdot c. Denotando u_{1}=a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2} e u_{2}=a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}, tem-se
(a\cdot b)\cdot c=(u_{1}c_{1}-u_{2}c_{2},\,u_{1}c_{2}+u_{2}c_{1}).
Substituindo u_{1},u_{2} obtemos, após distribuir:
\begin{aligned} (a\cdot b)\cdot c &=\big((a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2})c_{1}-(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})c_{2},\\\ &\qquad (a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2})c_{2}+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})c_{1}\big)\\\ &=\big(a_{1}b_{1}c_{1}-a_{2}b_{2}c_{1}-a_{1}b_{2}c_{2}-a_{2}b_{1}c_{2},\\\ &\qquad a_{1}b_{1}c_{2}-a_{2}b_{2}c_{2}+a_{1}b_{2}c_{1}+a_{2}b_{1}c_{1}\big). \end{aligned}
Agora calcule b\cdot c:
b\cdot c=(b_{1}c_{1}-b_{2}c_{2},\,b_{1}c_{2}+b_{2}c_{1}).
Denote v_{1}=b_{1}c_{1}-b_{2}c_{2}, v_{2}=b_{1}c_{2}+b_{2}c_{1}. Então
a\cdot(b\cdot c)=(a_{1}v_{1}-a_{2}v_{2},\,a_{1}v_{2}+a_{2}v_{1}).
Substituindo v_{1},v_{2} e distribuindo:
\begin{aligned} a\cdot(b\cdot c) &=\big(a_{1}(b_{1}c_{1}-b_{2}c_{2})-a_{2}(b_{1}c_{2}+b_{2}c_{1}),\\\ &\qquad a_{1}(b_{1}c_{2}+b_{2}c_{1})+a_{2}(b_{1}c_{1}-b_{2}c_{2})\big)\\\ &=\big(a_{1}b_{1}c_{1}-a_{1}b_{2}c_{2}-a_{2}b_{1}c_{2}-a_{2}b_{2}c_{1},\\\ &\qquad a_{1}b_{1}c_{2}+a_{1}b_{2}c_{1}+a_{2}b_{1}c_{1}-a_{2}b_{2}c_{2}\big). \end{aligned}
Comparando componente a componente, os dois vetores são idênticos (reordenando termos percebe-se igualdade). Logo (a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c).
Comentário didático: a associatividade exige manipulação algébrica cuidadosa; é exatamente a mesma verificação que se faz para a multiplicação de números complexos escrita em componentes reais.

Passo 7

Distributividade do produto sobre a soma.
Sejam a=(a_{1},a_{2}),\,b=(b_{1},b_{2}),\,c=(c_{1},c_{2}). Primeiro compute a+b=(a_{1}+b_{1},\,a_{2}+b_{2}). Então
(a+b)\cdot c=\big((a_{1}+b_{1})c_{1}-(a_{2}+b_{2})c_{2},\,(a_{1}+b_{1})c_{2}+(a_{2}+b_{2})c_{1}\big).
Distribuindo:
\begin{aligned} (a+b)\cdot c &=\big(a_{1}c_{1}+b_{1}c_{1}-a_{2}c_{2}-b_{2}c_{2},\\\ &\qquad a_{1}c_{2}+b_{1}c_{2}+a_{2}c_{1}+b_{2}c_{1}\big)\\\ &=\big(a_{1}c_{1}-a_{2}c_{2},\,a_{1}c_{2}+a_{2}c_{1}\big)+\big(b_{1}c_{1}-b_{2}c_{2},\,b_{1}c_{2}+b_{2}c_{1}\big)\\\ &=a\cdot c+b\cdot c. \end{aligned}
Portanto a distributividade válida: (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c. (Analogamente verifica-se c\cdot(a+b)=c\cdot a+c\cdot b.)
Didática: distributividade mistura soma e produto — aqui funciona porque ambas operações são compatíveis componente a componente pela forma dada.

Passo 8

Existência do neutro multiplicativo e dos inversos multiplicativos (para elementos não nulos).
  • Neutro multiplicativo: verificar (1,0) é neutro: (1,0)\cdot(a_{1},a_{2})=(1\cdot a_{1}-0\cdot a_{2},\,1\cdot a_{2}+0\cdot a_{1})=(a_{1},a_{2})=a.
  • Inverso multiplicativo: seja a=(a_{1},a_{2}) com a\neq(0,0). Defina d=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}. Note que d>0 porque pelo menos um entre a_{1},a_{2} é diferente de zero. Considere a^{-1}=\left(\dfrac{a_{1}}{d},\,\dfrac{-a_{2}}{d}\right).Verificar a\cdot a^{-1}=(1,0): \begin{aligned} a\cdot a^{-1} &=\Big(a_{1}\cdot\dfrac{a_{1}}{d}-a_{2}\cdot\dfrac{-a_{2}}{d},\;a_{1}\cdot\dfrac{-a_{2}}{d}+a_{2}\cdot\dfrac{a_{1}}{d}\Big)\\\ &=\Big(\dfrac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}{d},\;\dfrac{-a_{1}a_{2}+a_{2}a_{1}}{d}\Big)\\\ &=\Big(\dfrac{d}{d},\,0\Big)=(1,0). \end{aligned}Assim o inverso multiplicativo existe para todo a\neq(0,0). O único elemento sem inverso multiplicativo é (0,0), como esperado num corpo.
Didática: esta fórmula para o inverso é exatamente a do inverso multiplicativo do número complexo a_{1}+i a_{2}, vista em coordenadas reais.

Passo 9

Resumo das verificações e observações finais (motivação/intuição).
  • Verificamos fechamento, associatividade e comutatividade de ambas as operações, existência de neutros, existência de inversos aditivos e multiplicativos (para todos os não-nulos), e distributividade.
  • Portanto todos os axiomas de corpo estão satisfeitos.
  • Intuição: a estrutura é a usual dos números complexos escritos como pares (x_{1},x_{2}). As fórmulas dadas para soma e produto são exatamente as que correspondem a x_{1}+i x_{2} vezes y_{1}+i y_{2}. Como os complexos formam um corpo, C também é um corpo.

Passo 10

Pequena demonstração extra para fixar (exemplo numérico e encorajamento).
  • Exemplo numérico: pegue a=(2,3) e b=(1,-4). Então a\cdot b=(2\cdot1-3\cdot(-4),\,2\cdot(-4)+3\cdot1)=(2+12,\,-8+3)=(14,-5).O inverso de a é a^{-1}=\left(\dfrac{2}{2^{2}+3^{2}},\dfrac{-3}{2^{2}+3^{2}}\right)=\left(\dfrac{2}{13},-\dfrac{3}{13}\right). Multiplicando obtém-se (1,0).
  • Força aí: essa questão costuma assustar no início porque pede verificar muitos axiomas, mas todos são aplicações diretas da aritmética em \mathbb{R} e da álgebra elementar.

Resposta

Sim. C com as operações dadas satisfaz todos os axiomas de corpo, portanto é um corpo.

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