Seja
o conjunto das duplas de números reais (
) onde a soma de dois elementos é definida como
e o produto de dois elementos como
O elemento neutro da adição (ou nulo) é ( 0,0 ), e o elemento negativo de (
) é (
). O elemento neutro da multiplicação é ( 1,0 ) e o elemento inverso de (
) é
Verifique se o conjunto
é um corpo. Caso não seja, identifique quais axiomas não são satisfeitos.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado define o conjunto
com duas operações: - soma:
. - produto:
.
- soma:
- O enunciado também informa os elementos neutros e o inverso multiplicativo:
- neutro aditivo:
, - neutro multiplicativo:
, - inverso aditivo de
é , - inverso multiplicativo proposto:
(quando ).
- neutro aditivo:
O que o problema pede:
- Verificar se
com essas operações é um corpo (campo). - Se não for, indicar quais axiomas de corpo não são satisfeitos.
Passo 2
Plano do que vou verificar (lista das propriedades de corpo a checar).
Para ser um corpo preciso checar (vou explicando cada uma):
Para
- Fechamento das operações (soma e produto).
- Associatividade da soma e do produto.
- Comutatividade da soma e do produto.
- Existência do neutro aditivo e do neutro multiplicativo.
- Existência de inverso aditivo para todo elemento.
- Existência de inverso multiplicativo para todo elemento não-nulo (ou seja, para todo elemento diferente de
). - Distributividade do produto sobre a soma.
Vou verificar cada item explicitamente usando notação curta e explicando o raciocínio.
Passo 3
Fechamento das operações e explicação do que isso significa.
- Fechamento da soma: se
então e . Logo . Portanto a soma é fechada. - Fechamento do produto: se
então e . Logo . Portanto o produto é fechado.
Comentário didático: fechamento é a propriedade básica que garante que ao somar ou multiplicar dois elementos do conjunto não “saímos” do conjunto — aqui como estamos em pares de reais isso é imediato.
Passo 4
Propriedades da adição: associatividade, comutatividade, neutro e inverso aditivo.
- Associatividade da soma: para
calcule Como a soma em é associativa, a soma em também é. - Comutatividade da soma:
- Neutro aditivo:
satisfaz . - Inverso aditivo:
satisfaz .
Comentário didático: estas propriedades são quase tautológicas porque a adição é definida componente a componente, então tudo depende da adição usual em
.
Passo 5
Comutatividade do produto.
Sejam e
. Calcule os dois produtos:
Sejam
Usando comutatividade do produto real (
, etc.) os componentes são iguais termo a termo, logo
.
Didática rápida: multiplicação é simétrica em
e
devido às combinações lineares que aparecem — por isso é comutativa.
Passo 6
Associatividade do produto (etapa mais trabalhosa — mostrar com expansão).
Sejam .
Primeiro compute :
Sejam
Primeiro compute
Agora calcule
. Denotando
e
, tem-se
Substituindo
obtemos, após distribuir:
Agora calcule
:
Denote
,
. Então
Substituindo
e distribuindo:
Comparando componente a componente, os dois vetores são idênticos (reordenando termos percebe-se igualdade). Logo
.
Comentário didático: a associatividade exige manipulação algébrica cuidadosa; é exatamente a mesma verificação que se faz para a multiplicação de números complexos escrita em componentes reais.
Passo 7
Distributividade do produto sobre a soma.
Sejam . Primeiro compute
. Então
Sejam
Distribuindo:
Portanto a distributividade válida:
. (Analogamente verifica-se
.)
Didática: distributividade mistura soma e produto — aqui funciona porque ambas operações são compatíveis componente a componente pela forma dada.
Passo 8
Existência do neutro multiplicativo e dos inversos multiplicativos (para elementos não nulos).
- Neutro multiplicativo: verificar
é neutro: - Inverso multiplicativo: seja
com . Defina . Note que porque pelo menos um entre é diferente de zero. Considere Verificar : Assim o inverso multiplicativo existe para todo . O único elemento sem inverso multiplicativo é , como esperado num corpo.
Didática: esta fórmula para o inverso é exatamente a do inverso multiplicativo do número complexo
, vista em coordenadas reais.
Passo 9
Resumo das verificações e observações finais (motivação/intuição).
- Verificamos fechamento, associatividade e comutatividade de ambas as operações, existência de neutros, existência de inversos aditivos e multiplicativos (para todos os não-nulos), e distributividade.
- Portanto todos os axiomas de corpo estão satisfeitos.
- Intuição: a estrutura é a usual dos números complexos escritos como pares
. As fórmulas dadas para soma e produto são exatamente as que correspondem a vezes . Como os complexos formam um corpo, também é um corpo.
Passo 10
Pequena demonstração extra para fixar (exemplo numérico e encorajamento).
- Exemplo numérico: pegue
e . Então O inverso de é . Multiplicando obtém-se . - Força aí: essa questão costuma assustar no início porque pede verificar muitos axiomas, mas todos são aplicações diretas da aritmética em
e da álgebra elementar.
Resposta
Sim.
com as operações dadas satisfaz todos os axiomas de corpo, portanto é um corpo.