Encontre o centro e o raio de convergência das series de potencias
sum n^2 n(n!)^n x^n

Passo 1

O enunciado pede o centro e o raio de convergência da série de potências
sumn=0^infty n^2n(n!)^n,x^n
O conteúdo principal é séries de potências e a determinação do raio de convergência, que pode ser feita pelo teste da raiz.

Passo 2

Para identificar o centro de convergência, observamos que a série está na forma sum an (x-c)^n. Aqui ela aparece como sum an x^n, ou seja, c=0.

Passo 3

Pelo teste da raiz, definimos
L = limsupntoinfty raiz[n]|an|,
onde
an = n^2n(n!)^n
Calculamos
raiz[n]|an| ;=; n^2n!
Como n! cresce muito mais rápido que n^2 (por exemplo, pela fórmula de Stirling), temos
limntoinftyn^2n! = 0,
logo L=0.

Passo 4

O raio de convergência R é dado por
R = 1L
Como L=0, segue que
R = 10 = infty

Resposta

O centro de convergência é 0 e o raio de convergência é infty.

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