Seja
. Mostre que a sequência cujo termo geral é
é crescente e limitada e
.
Passo 1
O enunciado define a sequência
com
. O objetivo é mostrar que
é crescente, que ela é limitada por cima e que
O conteúdo que vamos usar é a soma de uma progressão geométrica e propriedades de limites.
Passo 2
Para ver que
é crescente, calculemos a diferença entre termos consecutivos:
Como
implica
, segue que
. Portanto
é estritamente crescente.
Passo 3
Para estudar o limite e a cota superior, achamos a forma fechada de
. Multiplicando por
, obtemos
Logo,
Como
faz
e
, concluímos que para todo
ou seja, a sequência é limitada superiormente por
.
Passo 4
Finalmente, para o limite basta observar que
quando
. Da expressão
segue
Resposta
A sequência
é estritamente crescente, limitada superiormente por
, e