Seja 0<a<1. Mostre que a sequência cujo termo geral é
xn=1+a+a^2+cdots a^n
é crescente e limitada e lim xn=11-a.

Passo 1

O enunciado define a sequência
xn=1+a+a^2+cdots +a^n
com 0<a<1. O objetivo é mostrar que (xn) é crescente, que ela é limitada por cima e que
limntoinftyxn=11-a
O conteúdo que vamos usar é a soma de uma progressão geométrica e propriedades de limites.

Passo 2

Para ver que (xn) é crescente, calculemos a diferença entre termos consecutivos:
xn+1-xn=l(1+a+cdots +a^n+a^n+1r)-l(1+a+cdots +a^nr)=a^n+1
Como 0<a<1 implica a^n+1>0, segue que xn+1-xn>0. Portanto (xn) é estritamente crescente.

Passo 3

Para estudar o limite e a cota superior, achamos a forma fechada de xn. Multiplicando por 1-a, obtemos
(1-a),xn=(1+a+cdots +a^n)-(a+a^2+cdots +a^n+1)=1-a^n+1
Logo,
xn=1-a^n+11-a
Como 0<a<1 faz a^n+1>0 e a^n+1to0, concluímos que para todo n
xn=1-a^n+11-a<11-a,
ou seja, a sequência é limitada superiormente por 11-a.

Passo 4

Finalmente, para o limite basta observar que a^n+1to0 quando ntoinfty. Da expressão
xn=1-a^n+11-a
segue
limntoinftyxn=1-01-a=11-a

Resposta

A sequência (xn) é estritamente crescente, limitada superiormente por tfrac11-a, e
limntoinftyxn=11-a

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