Determine o domínio de cada uma das funções abaixo e represente-o graficamente:
(17.5)
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(17.5)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio da função $ f(x, y) = \arccos(x - y) $ e representar esse domínio graficamente. O assunto aqui é funções multivariadas e especificamente funções trigonométricas inversas. Para resolver, vamos lembrar o que define o domínio da função arco cosseno e como isso se aplica a uma função com duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função $ \arccos(z) $ está definida apenas para valores de $ z $ que estão entre -1 e 1, ou seja:
Nesse caso, nosso $ z $ é $ x - y $. Então, para a função $ f(x, y) = \arccos(x - y) $ estar definida, precisamos que:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa dupla desigualdade para encontrar a relação entre $ x $ e $ y $:
Primeiro, temos:
Isso pode ser reescrito como:
E a segunda parte:
Rearranjando:
Passo 4
Então, combinando as duas inequações, temos que para a função estar definida:
Isso significa que $ y $ deve estar entre $ x - 1 $ e $ x + 1 $.
Passo 5
Agora, vamos interpretar isso graficamente. No plano $ xy $:
- A reta $ y = x - 1 $ é uma linha reta com inclinação 1 e intercepto -1.
- A reta $ y = x + 1 $ também tem inclinação 1, mas intercepta o eixo y em +1.
O domínio da função será toda a região entre essas duas retas, incluindo as próprias retas.
Resposta
O domínio da função $ f(x, y) = \arccos(x - y) $ é o conjunto de todos os pares $ (x, y) $ tais que $ x - 1 \leq y \leq x + 1 $. Graficamente, essa região é representada no plano $ xy $ pela área compreendida entre as retas $ y = x - 1 $ e $ y = x + 1 $.