Calcule o comprimento de arco da curva r=1+cos theta2.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva em coordenadas polares r=tfrac1+costheta2, usando o conteúdo de comprimento de arco em coordenadas polares. Vamos precisar da fórmula
L=integraltheta1^theta2raizr^2+l(drdthetar)^2,dtheta,
para theta variando de 0 a 2pi, que cobre toda a curva.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de r em relação a theta:
r=1+costheta2Longrightarrow drdtheta=-12sintheta

Passo 3

Agora somamos r^2 e (dr/dtheta)^2. Primeiro:
r^2=(1+costheta)^24, l(drdthetar)^2=sin^2theta4
Somando:
r^2+l(drdthetar)^2=(1+costheta)^2+sin^2theta4=2+2costheta4=1+costheta2

Passo 4

Extraímos a raiz:
raizr^2+l(drdthetar)^2=raiz1+costheta2=|cos(tfractheta2)|,
onde usamos a identidade cos^2(x)=(1+cos(2x))/2.

Passo 5

O comprimento de arco fica
L=integral0^2pi|cos(tfractheta2)|,dtheta
Como cos(tfractheta2)>=0 em [0,pi] e <=0 em [pi,2pi], dividimos a integral:
integral0^picos(tfractheta2),dtheta=2sin(tfractheta2)|0^pi=2,
integralpi^2pi|cos(tfractheta2)|,dtheta=-integralpi^2picos(tfractheta2),dtheta=-2sin(tfractheta2)|pi^2pi=2

Passo 6

Somando as duas partes temos
L=2+2=4

Resposta

4

Exercícios relacionados