Encontre uma solução geral.
ly1^prime=y2+t y2^prime=y1-3 t

Passo 1

Temos o sistema
y1'=y2+t, y2'=y1-3t
Esse é um sistema linear não homogêneo de primeira ordem. Para resolver, vamos transformar em uma equação de segunda ordem só em y1, resolver essa EDO e depois obter y2 pelas equações originais.

Passo 2

Derivando a primeira equação em relação a t e usando a segunda, obtemos
y1''&=y2'+1, y2'&=y1-3t
Logo
y1''=y1-3t+1
Isolando, a EDO para y1 é
y1''-y1=-3t+1

Passo 3

A parte homogênea dessa EDO é
y1''-y1=0
cuja equação característica é r^2-1=0, com raízes r=1 e r=-1. Assim
y1h(t)=C1e^t+C2e^-t

Passo 4

Para a parte particular, como o termo não homogêneo é polinomial em t, tentamos
y1p(t)=a t + b
Então
y1p'=a, y1p''=0
Substituindo em y1''-y1=-3t+1
0-(a t + b)=-3t+1
que implica -a=-3 e -b=1, ou seja a=3 e b=-1. Logo
y1p(t)=3t-1

Passo 5

A solução geral para y1 é a soma da homogênea e da particular:
y1(t)=C1e^t+C2e^-t+3t-1
Para encontrar y2(t), usamos a primeira equação original: y1'=y2+t. Calculando y1' e isolando y2:
y1'=C1e^t-C2e^-t+3, y2=y1'-t=C1e^t-C2e^-t+3-t

Resposta

y1(t)=C1e^t+C2e^-t+3t-1, y2(t)=C1e^t-C2e^-t+3-t

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