Determine o domínio e o conjunto imagem das funções a seguir:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede-se o domínio e o conjunto imagem (contrário de domínio: os valores que a função assume) da função
definida por . - Informação dada: a função é a composição da função
com a função linear .
Passo 2
Entendendo a restrição da função
:
- A função
(arco seno) está definida apenas quando o argumento pertence ao intervalo . Ou seja, só faz sentido calcular se . - Portanto, para
precisamos que o argumento esteja em .
Passo 3
Escrevendo e resolvendo a condição para o domínio:
- A condição é
- Agora resolvemos essa desigualdade para
. Como se trata de multiplicação por , podemos dividir todos os termos por sem inverter sinais:
- Conclusão: todos os
que satisfazem essa desigualdade pertencem ao domínio. Os extremos estão incluídos porque é definida em .
Passo 4
Escrevendo o domínio na notação habitual:
- O domínio de
é o intervalo fechado
Passo 5
Encontrando o conjunto imagem: ideias usadas
- A função
tem imagem (alcance) igual ao intervalo fechado quando o argumento varia em . Em palavras: . - A função linear
, com , percorre exatamente o intervalo (é contínua e atinge os extremos). - Composição: portanto
atinge todos os valores que assume em , isto é, todo .
Passo 6
Cálculo dos extremos para confirmar:
- Quando
tem-se e
- Quando
tem-se e
- Como
é contínua e estritamente crescente em , todos os valores entre esses extremos também são assumidos.