Determine o domínio e o conjunto imagem das funções a seguir:
f(x)=\operatorname{arcsen}(4 x)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se o domínio e o conjunto imagem (contrário de domínio: os valores que a função assume) da função f definida por f(x)=\operatorname{arcsen}(4x).
  • Informação dada: a função é a composição da função \operatorname{arcsen}(\cdot) com a função linear x\mapsto 4x.

Passo 2

Entendendo a restrição da função \operatorname{arcsen}:
  • A função \operatorname{arcsen}(y) (arco seno) está definida apenas quando o argumento y pertence ao intervalo [-1,1]. Ou seja, só faz sentido calcular \operatorname{arcsen}(y) se -1\le y\le 1.
  • Portanto, para f(x)=\operatorname{arcsen}(4x) precisamos que o argumento 4x esteja em [-1,1].

Passo 3

Escrevendo e resolvendo a condição para o domínio:
  • A condição é
-1 \le 4x \le 1.
  • Agora resolvemos essa desigualdade para x. Como se trata de multiplicação por 4>0, podemos dividir todos os termos por 4 sem inverter sinais:
-\tfrac{1}{4} \le x \le \tfrac{1}{4}.
  • Conclusão: todos os x que satisfazem essa desigualdade pertencem ao domínio. Os extremos estão incluídos porque \operatorname{arcsen} é definida em \pm1.

Passo 4

Escrevendo o domínio na notação habitual:
  • O domínio de f é o intervalo fechado
\mathrm{Dom}(f)=\left[-\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{4}\right].

Passo 5

Encontrando o conjunto imagem: ideias usadas
  • A função \operatorname{arcsen} tem imagem (alcance) igual ao intervalo fechado \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right] quando o argumento varia em [-1,1]. Em palavras: \operatorname{arcsen}\big([-1,1]\big)=\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right].
  • A função linear x\mapsto 4x, com x\in\left[-\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{4}\right], percorre exatamente o intervalo [-1,1] (é contínua e atinge os extremos).
  • Composição: portanto f(x)=\operatorname{arcsen}(4x) atinge todos os valores que \operatorname{arcsen} assume em [-1,1], isto é, todo \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right].

Passo 6

Cálculo dos extremos para confirmar:
  • Quando x=-\tfrac{1}{4} tem-se 4x=-1 e
\operatorname{arcsen}(-1)=-\tfrac{\pi}{2}.
  • Quando x=\tfrac{1}{4} tem-se 4x=1 e
\operatorname{arcsen}(1)=\tfrac{\pi}{2}.
  • Como \operatorname{arcsen} é contínua e estritamente crescente em [-1,1], todos os valores entre esses extremos também são assumidos.

Resposta

\mathrm{Dom}(f)=\left[-\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{4}\right]
\mathrm{Im}(f)=\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]

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