Determine o domínio e o conjunto imagem das funções a seguir:
g(x)=\operatorname{arccos} (3 x)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A função é g(x)=\operatorname{arccos}(3x).
  • O enunciado pede:
    • determinar o domínio de g (todos os x para os quais g(x) está definida);
    • determinar o conjunto imagem de g (todos os valores possíveis de g(x)).
Informações importantes que nos servem (estas são propriedades da função arco-cosseno que usaremos depois):
  • A função \operatorname{arccos} só está definida para argumentos no intervalo [-1,1].
  • A função \operatorname{arccos} toma valores no intervalo [0,\pi]; em particular \operatorname{arccos}(1)=0, \operatorname{arccos}(0)=\tfrac{\pi}{2} e \operatorname{arccos}(-1)=\pi.
  • O argumento de \operatorname{arccos} aqui é 3x. Então primeiro precisamos garantir que 3x esteja em [-1,1].

Passo 2

Determinar o domínio: impor a condição de existência de \operatorname{arccos} sobre o argumento 3x.
Escreve-se a desigualdade que garante que 3x está em [-1,1]:
-1 \le 3x \le 1.
Agora resolvemos essa desigualdade para x. Como vamos dividir por 3, e 3>0, a direção das desigualdades não muda. Dividindo todos os termos por 3 obtemos:
-\tfrac{1}{3} \le x \le \tfrac{1}{3}.
Portanto o domínio é o intervalo fechado
\mathrm{Dom}(g)=\left[-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\right].
Observação didática rápida: dividir uma desigualdade por um número positivo mantém as desigualdades; se fosse por um número negativo, seria necessário inverter os sinais. Aqui isso não acontece porque 3 é positivo.

Passo 3

Interpretar quais valores \operatorname{arccos}(3x) pode assumir (conjunto imagem).
Sabendo que 3x percorre todo o intervalo [-1,1] quando x percorre \left[-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\right], e lembrando que a função \operatorname{arccos} mapeia todo [-1,1] no intervalo [0,\pi], concluímos que \operatorname{arccos}(3x) assumirá todos os valores entre 0 e \pi.
Para ficar mais concreto, avaliações nas extremidades mostram:
g\!\left(-\tfrac{1}{3}\right)=\operatorname{arccos}\big(3\cdot(-\tfrac{1}{3})\big)=\operatorname{arccos}(-1)=\pi,
g\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=\operatorname{arccos}\big(3\cdot\tfrac{1}{3}\big)=\operatorname{arccos}(1)=0.
Como a composição de funções contínuas é contínua e \operatorname{arccos} é contínua em [-1,1], entre esses extremos g(x) atinge todos os valores entre 0 e \pi. Assim o conjunto imagem é o intervalo fechado
\mathrm{Im}(g)=[0,\pi].

Passo 4

Resumo didático (como lembrar na prova): para g(x)=\operatorname{arccos}(ax+b) primeiro exige-se ax+b\in[-1,1] e resolve-se essa desigualdade para x (isso dá o domínio). Depois a imagem será sempre contida em [0,\pi]; se ax+b varia por todo [-1,1], a imagem será exatamente [0,\pi].

Resposta

Domínio: \left[-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\right]
Imagem: [0,\pi]

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