Determine o domínio e o conjunto imagem das funções a seguir:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- A função é
. - O enunciado pede:
- determinar o domínio de
(todos os para os quais está definida); - determinar o conjunto imagem de
(todos os valores possíveis de ).
- determinar o domínio de
Informações importantes que nos servem (estas são propriedades da função arco-cosseno que usaremos depois):
- A função
só está definida para argumentos no intervalo . - A função
toma valores no intervalo ; em particular , e . - O argumento de
aqui é . Então primeiro precisamos garantir que esteja em .
Passo 2
Determinar o domínio: impor a condição de existência de
sobre o argumento
.
Escreve-se a desigualdade que garante que
está em
:
Agora resolvemos essa desigualdade para
. Como vamos dividir por
, e
, a direção das desigualdades não muda. Dividindo todos os termos por
obtemos:
Portanto o domínio é o intervalo fechado
Observação didática rápida: dividir uma desigualdade por um número positivo mantém as desigualdades; se fosse por um número negativo, seria necessário inverter os sinais. Aqui isso não acontece porque
é positivo.
Passo 3
Interpretar quais valores
pode assumir (conjunto imagem).
Sabendo que
percorre todo o intervalo
quando
percorre
, e lembrando que a função
mapeia todo
no intervalo
, concluímos que
assumirá todos os valores entre
e
.
Para ficar mais concreto, avaliações nas extremidades mostram:
Como a composição de funções contínuas é contínua e
é contínua em
, entre esses extremos
atinge todos os valores entre
e
. Assim o conjunto imagem é o intervalo fechado
Passo 4
Resumo didático (como lembrar na prova): para
primeiro exige-se
e resolve-se essa desigualdade para
(isso dá o domínio). Depois a imagem será sempre contida em
; se
varia por todo
, a imagem será exatamente
.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: