Determine o domínio e construa o gráfico das seguintes funções. A seguir identifique como estão relacionados os gráficos das funções do mesmo tipo.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- Determinar o domínio da função.
- Construir (esboçar) o gráfico de
. - Identificar como os gráficos de funções “do mesmo tipo” (outros cúbicos da forma
) se relacionam entre si.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é dada explicitamente por
. - Não há termos de translação (não há
ou dentro), apenas um coeficiente multiplicando .
Passo 2
Definindo e explicando o domínio.
- Uma função polinomial é definida para todos os números reais; não há divisão por zero, raízes pares, logaritmos etc. Portanto o domínio de uma função polinomial é todo o conjunto dos números reais.
- Conclusão: o domínio de
é o conjunto , isto é, todos os reais.
Passo 3
Estudando a forma básica
para entender
.
- Primeiro, observar o gráfico de
. Alguns pontos fáceis de calcular: -
- Do comportamento desses pontos se vê que
é estritamente crescente: valores de maiores dão valores de maiores. Intuitivamente, se então para reais. - Propriedade de simetria:
é função ímpar porque . Graficamente isso significa simetria em relação à origem (rotacional de 180°). - Ponto notável: a origem
é ponto de inflexão — a curvatura muda de um lado para o outro (à esquerda a curva “abre” para baixo, à direita para cima).
Passo 4
Passando de
para
: efeito do coeficiente.
- Podemos escrever
. Multiplicar por é uma transformação vertical: cada valor de é dobrado. - Consequências práticas:
- Os pontos ficam:
, , , , . - A curva continua estritamente crescente e ímpar:
. - A origem continua sendo ponto de inflexão.
- Como
, a curva fica “mais inclinada” (mais vertical) do que : é um esticamento vertical por fator .
- Os pontos ficam:
- Regra geral para coeficiente
em : - Se
: esticamento vertical (mais íngreme). - Se
: compressão vertical (menos íngreme). - Se
: além do esticamento/compressão há reflexão em relação ao eixo (porque sinal negativo inverte o sinal dos ).
- Se
- Portanto
é apenas o “esticado” verticalmente por 2.
Passo 5
Como esboçar o gráfico rapidamente (passo a passo prático para a prova).
- Desenhar e marcar os eixos
e . - Marcar os pontos calculados:
, , , , . - Ligar os pontos com uma curva suave que passa por eles, lembrando:
- Para
, . - Para
, . - A curva não tem máximos ou mínimos locais (é monotonicamente crescente).
- Simetria em relação à origem.
- Para
- Indicar no esboço que a curva fica mais íngreme que
(por exemplo, plotar também e para visualizar a diferença, se desejar).
Passo 6
Propriedades finais úteis para a prova (resumo didático).
- Domínio: todos os reais,
. - Imagem (contradomínio efetivo): também todos os reais, pois a função assume qualquer valor real conforme
varia. - Monotonia: estritamente crescente em
. - Injetividade e sobrejetividade: é bijetora de
em (logo tem inversa), com inversa . - Simetria: função ímpar (simetria central na origem).
- Transformação em relação a
: multiplicação por → esticamento vertical por fator ; em geral muda a inclinação e o sinal dependendo de .
Resposta
Domínio:
Gráfico: curva cúbica passando por , estritamente crescente, simétrica em relação à origem e com comportamento
quando
e
quando
.
Relação com outras funções do tipo : o coeficiente
provoca um esticamento/compressão vertical por
(e, se
, também uma reflexão em relação ao eixo
); no caso
há esticamento vertical por fator
.
Gráfico: curva cúbica passando por
Relação com outras funções do tipo