Determine o domínio e construa o gráfico das seguintes funções. A seguir identifique como estão relacionados os gráficos das funções do mesmo tipo.
q(x)=2 x^{3}

Passo 1

O enunciado dá a função q(x)=2x^{3} e pede três coisas:
  • Determinar o domínio da função.
  • Construir (esboçar) o gráfico de q.
  • Identificar como os gráficos de funções “do mesmo tipo” (outros cúbicos da forma a x^{3}) se relacionam entre si.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é dada explicitamente por q(x)=2x^{3}.
  • Não há termos de translação (não há +b ou (x-c) dentro), apenas um coeficiente multiplicando x^{3}.

Passo 2

Definindo e explicando o domínio.
  • Uma função polinomial é definida para todos os números reais; não há divisão por zero, raízes pares, logaritmos etc. Portanto o domínio de uma função polinomial é todo o conjunto dos números reais.
  • Conclusão: o domínio de q é o conjunto \mathbb{R}, isto é, todos os x reais.

Passo 3

Estudando a forma básica x^{3} para entender 2x^{3}.
  • Primeiro, observar o gráfico de g(x)=x^{3}. Alguns pontos fáceis de calcular:
    • g(-2)=(-2)^{3}=-8
    • g(-1)=(-1)^{3}=-1
    • g(0)=0^{3}=0
    • g(1)=1^{3}=1
    • g(2)=2^{3}=8
  • Do comportamento desses pontos se vê que g é estritamente crescente: valores de x maiores dão valores de g(x) maiores. Intuitivamente, se a<b então a^{3}<b^{3} para reais.
  • Propriedade de simetria: g é função ímpar porque g(-x)=(-x)^{3}= -x^{3} = -g(x). Graficamente isso significa simetria em relação à origem (rotacional de 180°).
  • Ponto notável: a origem (0,0) é ponto de inflexão — a curvatura muda de um lado para o outro (à esquerda a curva “abre” para baixo, à direita para cima).

Passo 4

Passando de g(x)=x^{3} para q(x)=2x^{3}: efeito do coeficiente.
  • Podemos escrever q(x)=2\cdot g(x). Multiplicar por 2 é uma transformação vertical: cada valor de g(x) é dobrado.
  • Consequências práticas:
    • Os pontos ficam: q(-2)=2\cdot(-8)=-16, q(-1)=-2, q(0)=0, q(1)=2, q(2)=16.
    • A curva continua estritamente crescente e ímpar: q(-x)=-q(x).
    • A origem continua sendo ponto de inflexão.
    • Como |2|>1, a curva fica “mais inclinada” (mais vertical) do que x^{3}: é um esticamento vertical por fator 2.
  • Regra geral para coeficiente a em f(x)=a x^{3}:
    • Se a>1: esticamento vertical (mais íngreme).
    • Se 0<a<1: compressão vertical (menos íngreme).
    • Se a<0: além do esticamento/compressão há reflexão em relação ao eixo x (porque sinal negativo inverte o sinal dos y).
  • Portanto q(x)=2x^{3} é apenas o x^{3} “esticado” verticalmente por 2.

Passo 5

Como esboçar o gráfico rapidamente (passo a passo prático para a prova).
  1. Desenhar e marcar os eixos x e y.
  2. Marcar os pontos calculados: (-2,-16), (-1,-2), (0,0), (1,2), (2,16).
  3. Ligar os pontos com uma curva suave que passa por eles, lembrando:
    • Para x\to+\infty, q(x)\to+\infty.
    • Para x\to-\infty, q(x)\to-\infty.
    • A curva não tem máximos ou mínimos locais (é monotonicamente crescente).
    • Simetria em relação à origem.
  4. Indicar no esboço que a curva fica mais íngreme que y=x^{3} (por exemplo, plotar também (1,1) e (2,8) para visualizar a diferença, se desejar).

Passo 6

Propriedades finais úteis para a prova (resumo didático).
  • Domínio: todos os reais, \mathbb{R}.
  • Imagem (contradomínio efetivo): também todos os reais, pois a função assume qualquer valor real conforme x varia.
  • Monotonia: estritamente crescente em \mathbb{R}.
  • Injetividade e sobrejetividade: é bijetora de \mathbb{R} em \mathbb{R} (logo tem inversa), com inversa q^{-1}(y)=\sqrt[3]{\tfrac{y}{2}}.
  • Simetria: função ímpar (simetria central na origem).
  • Transformação em relação a x^{3}: multiplicação por 2 → esticamento vertical por fator 2; em geral a x^{3} muda a inclinação e o sinal dependendo de a.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Gráfico: curva cúbica passando por (-2,-16),(-1,-2),(0,0),(1,2),(2,16), estritamente crescente, simétrica em relação à origem e com comportamento q(x)\to+\infty quando x\to+\infty e q(x)\to-\infty quando x\to-\infty.
Relação com outras funções do tipo a x^{3}: o coeficiente a provoca um esticamento/compressão vertical por |a| (e, se a<0, também uma reflexão em relação ao eixo x); no caso a=2 há esticamento vertical por fator 2.

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