Em cada problema, esboce o gráfico de f(y), determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique cada um deles como assintoticamente estável ou instável. Faça um esboço qualitativo da solução.
y^{\prime}=y\left(1-y^{3}\right), \quad-\infty<y_{o}<\infty

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial autônoma
y' = y\left(1-y^{3}\right), \qquad -\infty<y_{0}<\infty,
e pede três coisas: (1) esboçar o gráfico de f(y)=y(1-y^{3}); (2) determinar os pontos críticos (equilíbrios), ou seja, os valores de y tais que f(y)=0; (3) classificar cada equilíbrio como assintoticamente estável ou instável e fornecer um esboço qualitativo das soluções (comportamento das soluções para diferentes y_{0}).
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de f(y) é f(y)=y(1-y^{3}). Não há mais dados numéricos; as respostas devem ser qualitativas e analíticas.

Passo 2

Achar os pontos de equilíbrio resolvendo f(y)=0. Escrevo
f(y)=y(1-y^{3}).
As raízes vêm de y=0 ou 1-y^{3}=0. Resolver 1-y^{3}=0 y^{3}=1 e, como estamos em números reais, a única raiz real é
y=1.
Para confirmar que não há outras raízes reais, factorizei (1-y^{3}) como
1-y^{3}=(1-y)(1+y+y^{2}).
O fator 1+y+y^{2} é uma quadrática com discriminante 1-4=-3<0, portanto não tem raízes reais. Conclusão: os pontos de equilíbrio são exatamente
y^{*}=0\quad\text{e}\quad y^{*}=1.

Passo 3

Esboço e sinal de [f(y)). Vou analisar o sinal de f(y)=y(1-y^{3}) em intervalos determinados pelas raízes 0 e 1. Escolho pontos de teste:
  • Para y=-1: \;f(-1)=(-1)\bigl(1-(-1)^{3}\bigr)=(-1)(1+1)= -2<0.
  • Para y=\tfrac{1}{2}: \;f\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)=\tfrac{1}{2}\bigl(1-(\tfrac{1}{2})^{3}\bigr)>0.
  • Para y=2: \;f(2)=2(1-8)=2(-7)=-14<0.
Então o sinal de f é
\begin{cases} f(y)<0 & \text{em }(-\infty,0),\\[4pt] f(y)>0 & \text{em }(0,1),\\[4pt] f(y)<0 & \text{em }(1,\infty). \end{cases}
Isso significa que as soluções y(t)\] são decrescentes quando \(y<0, crescentes quando 0<y<1 e decrescentes quando y>1.
O esboço qualitativo de f(y) (linha horizontal y-eixo é variável y, eixo vertical é f(y)): corta o eixo em y=0 e y=1; para y negativo f(y) é negativo; para 0<y<1 positivo; para y>1 negativo. Além disso, para grandes |y| domina o termo -y^{4} (pois f(y)=y-y^{4}), então f(y)\to -\infty quando y\to\pm\infty. (Esse é o esboço que se deve desenhar: duas raízes, com f positivo entre elas e negativo fora.)]

Passo 4

Critério de estabilidade via linearização (pequena aula rápida). Para um equilíbrio y^{*} de uma equação autônoma y'=f(y), a linearização é y'\approx f'(y^{*})(y-y^{*}) quando y está perto de y^{*}. A solução linearizada é exponencial: (y-y^{*})\sim e^{f'(y^{*})t}. Logo:
  • Se f'(y^{*})<0 então y^{*} é assintoticamente estável (as soluções próximas decaem exponencialmente para y^{*}).
  • Se f'(y^{*})>0 então y^{*} é instável (soluções próximas se afastam).
Calcule f'(y):
f'(y)=\frac{d}{dy}\bigl(y(1-y^{3})\bigr)=1-4y^{3}.
Avalio nos equilíbrios:
  • Em y^{*}=0: \;f'(0)=1-4\cdot0^{3}=1>0. Portanto y=0 é um equilíbrio instável (repulsor).
  • Em y^{*}=1: \;f'(1)=1-4\cdot1^{3}=1-4=-3<0. Portanto y=1 é assintoticamente estável (atrator).

Passo 5

Interpretação dinâmica completa e esboço das soluções (mini-aula sobre interpretação do sinal). A regra prática: em um diagrama de linha de fase em y colocam-se as raízes e setas nos intervalos indicando se y(t) aumenta ( f>0, seta para a direita/up) ou diminui ( f<0, seta para a esquerda/down). Aplicando isso:
  • Para y_{0}<0: como f(y)<0 aí, y(t) diminui. Ou seja, a solução se afasta de 0 em direção a valores cada vez mais negativos. Usando a mudança z=-y>0 obtém-se z' = z+z^{4} \ge z^{4}. A solução da comparação w'=w^{4} com w(0)=z(0) explode (vai para \infty) em tempo finito; por comparação conclui-se que z(t) (e portanto |y(t)|) também diverge para \infty em tempo finito. Em palavras: condições iniciais negativas levam a uma “explosão” para -\infty em tempo finito.
  • Para 0<y_{0}<1: f(y)>0, então y(t) aumenta e, por análise da linha de fase e do sinal de f, aproxima-se de y=1 quando t\to+\infty. Portanto essas soluções são atraídas para 1.
  • Para y_{0}>1: f(y)<0, então y(t) diminui e se aproxima de y=1 quando t\to+\infty.
  • Para as condições iniciais exatas y_{0}=0 ou y_{0}=1: a solução é constante ( y(t)\equiv0 ou y(t)\equiv1).
Esses comportamentos se traduzem num esboço qualitativo das soluções y(t) versus t:
  • Se y_{0}\in(0,1) curva monotonicamente crescente e assintoticamente tendendo a 1.
  • Se y_{0}>1 curva monotonicamente decrescente e tendendo a 1.
  • Se y_{0}=1 fica parado em 1.
  • Se y_{0}=0 fica parado em 0, mas esse ponto é instável: qualquer pequeno ruído positivo empurra para a região que vai a 1, qualquer pequeno ruído negativo leva à explosão negativa.
  • Se y_{0}<0 a curva decresce e vai a -\infty em tempo finito (explosão).

Resposta

Pontos de equilíbrio: y^{*}=0 (instável)
Pontos de equilíbrio: y^{*}=1 (assintoticamente estável)

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