Em cada um dos itens abaixo use translação para representar geometricamente cada uma das funções dadas.
(i) g_{1}(x)=f(x)+3;

Passo 1

O enunciado dá a função \,g_{1}(x)=f(x)+3\, e pede para representar geometricamente essa função usando translação.
Informações fornecidas:
  • A função original é f (gráfico qualquer conhecido ou disponível).
  • A nova função é g_{1} definida por \,g_{1}(x)=f(x)+3.
    Pergunta a responder:
  • Como é o gráfico de g_{1} em relação ao gráfico de f?

Passo 2

O que significa uma translação vertical na prática (ideia essencial).
Se um ponto qualquer do gráfico de f tem coordenadas (a,\;f(a)), então o ponto correspondente no gráfico de g_{1} é (a,\;g_{1}(a)). Como \,g_{1}(a)=f(a)+3, o ponto correspondente é (a,\;f(a)+3).
Isto mostra diretamente a regra geométrica: cada ponto do gráfico de f é deslocado verticalmente para cima em 3 unidades para obter o gráfico de g_{1}.

Passo 3

Formulação geral da regra de translação (explicação didática).
  • Para qualquer constante \,c\in\mathbb{R}\,, a função \,f(x)+c\, representa o gráfico de f transladado verticalmente.
  • Se \,c>0\, o deslocamento é para cima em \,c unidades; se \,c<0\, o deslocamento é para baixo em |c| unidades.
    Aplicando com \,c=3\,: \,g_{1}(x)=f(x)+3\, é o gráfico de f deslocado para cima em 3 unidades.

Passo 4

Como usar essa regra passo a passo na prova (procedimento prático para esboçar o gráfico).
  1. Pegue o esboço do gráfico de f.
  2. Para alguns pontos chave (ex.: interceptos, vértices, pontos de máximo/mínimo, pontos onde f tem mudança de concavidade), some 3 à coordenada y de cada ponto. Ou seja, transforme (x,y) em (x,y+3).
  3. Desenhe o novo traço ligando os pontos deslocados, preservando forma, inclinações e curvaturas (apenas a altura mudou).

Passo 5

O que acontece com interceptos e zeros (detalhe importante para interpretar gráficos).
  • Intercepto em y: se o intercepto de f é (0,\;f(0)), então o intercepto de g_{1} é (0,\;f(0)+3). Ou seja, o ponto sobe 3 unidades.
  • Zeros (raízes): g_{1}(x)=0 implica f(x)+3=0, ou seja f(x)=-3. Portanto, um x que era raiz de f ( f(x)=0) em geral deixa de ser raiz de g_{1} — as novas raízes são os pontos onde f(x)=-3. Em palavras: o gráfico todo subiu, então interseções com o eixo x podem desaparecer ou alterar-se.

Passo 6

Exemplo numérico rápido para fixar (aplicação concreta).
Suponha que no gráfico de f exista o ponto (1,\;2). No gráfico de g_{1} esse ponto vira (1,\;2+3)=(1,\;5).
Suponha que f tenha um vértice em (0,-4). No gráfico de g_{1} o vértice estará em (0,-1).

Passo 7

Resumo prático e dica de prova (como responder rápido numa questão).
Escreva: “O gráfico de g_{1}(x)=f(x)+3 é o gráfico de f transladado verticalmente para cima em 3 unidades.” Se pedirem para desenhar, pegue alguns pontos de f, some 3 às ordenadas e una os pontos mantendo a mesma forma.

Resposta

O gráfico de g_{1}(x)=f(x)+3 é o gráfico de f transladado verticalmente para cima em 3 unidades.

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