Determine o domínio da curva de equação vetorial
\mathbf{r}(t)=\left(\sqrt{\frac{t-2}{t+1}}, \ln \left(5-t^{2}\right), e^{-t}\right) .

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
  • Pede: determinar o domínio da curva vetorial \mathbf{r}(t).
  • A curva é dada por
\mathbf{r}(t)=\left(\sqrt{\frac{t-2}{t+1}},\\ \ln\!\left(5-t^{2}\right),\\ e^{-t}\right).
  • Informações relevantes (cada componente impõe restrições diferentes):
    • A primeira componente é \sqrt{\dfrac{t-2}{t+1}}. Para que essa expressão seja real e bem definida é necessário que o quociente dentro da raiz seja maior ou igual a zero e que o denominador não seja zero.
    • A segunda componente é \ln\!\left(5-t^{2}\right). Para \ln ser real, o argumento deve ser estritamente positivo.
    • A terceira componente é e^{-t}. A função exponencial está definida para todo t\in\mathbb{R} (sem restrição).

Passo 2

Domínio da primeira componente \sqrt{\dfrac{t-2}{t+1}}.
  • Requisitos: \frac{t-2}{t+1} \ge 0 \quad\text{e}\quad t+1 \ne 0.Note que a condição t+1\ne0 já está implícita ao exigir a fração bem definida.
  • Vamos resolver a desigualdade \dfrac{t-2}{t+1} \ge 0. Identificamos os pontos críticos onde numerador ou denominador se anulam: t-2=0 \Rightarrow t=2,\qquad t+1=0 \Rightarrow t=-1.
  • Estude o sinal da fração em cada intervalo determinado por esses pontos: (-\infty,-1), (-1,2) e (2,\infty).
    • Para t<-1: numerador t-2<0, denominador t+1<0 ⇒ quociente >0.
    • Para -1<t<2: numerador <0, denominador >0 ⇒ quociente <0.
    • Para t>2: numerador >0, denominador >0 ⇒ quociente >0.
  • Em t=2 a fração vale 0, o que é permitido (raiz de zero é 0). Em t=-1 a expressão é indefinida (denominador zero).
  • Portanto o conjunto de t que satisfaz a primeira componente é (-\infty,-1)\\ \cup\\ [2,\infty).

Passo 3

Domínio da segunda componente \ln\!\left(5-t^{2}\right).
  • Requisito: 5-t^{2}>0.
  • Resolver 5-t^{2}>0 equivale a t^{2}<5, isto é -\sqrt{5}<t<\sqrt{5}.Note que as extremidades t=\pm\sqrt{5} não são permitidas porque aí o argumento vira zero e \ln 0 é indefinido.

Passo 4

Domínio da terceira componente e^{-t}.
  • A função exponencial está definida para todo t\in\mathbb{R}.
  • Logo a terceira componente não impõe restrição adicional.

Passo 5

Interseção das restrições (domínio da curva inteira).
  • O domínio da curva \mathbf{r}(t) é a interseção dos domínios das três componentes.
  • Intersectamos os conjuntos obtidos:
    • Da primeira componente: (-\infty,-1)\\ \cup\\ [2,\infty).
    • Da segunda componente: \left(-\sqrt{5},\sqrt{5}\right).
    • Da terceira componente: \mathbb{R} (não altera a interseção).
  • Interseção com \left(-\sqrt{5},\sqrt{5}\right) corta os dois ramos da primeira componente:
    • (-\infty,-1)\cap\left(-\sqrt{5},\sqrt{5}\right) = \left(-\sqrt{5},-1\right) (porque -\sqrt{5}>-\infty e -1 permanece excluído).
    • [2,\infty)\cap\left(-\sqrt{5},\sqrt{5}\right) = [2,\sqrt{5}) (porque \sqrt{5}<\infty e o extremo \sqrt{5} é excluído pela condição do ln).
  • Assim a interseção final é a união desses dois trechos.

Resposta

\left(-\sqrt{5},-1\right)\\ \cup\\ [2,\sqrt{5})

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