Determine o domínio da curva de equação vetorial
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
- Pede: determinar o domínio da curva vetorial
. - A curva é dada por
- Informações relevantes (cada componente impõe restrições diferentes):
- A primeira componente é
. Para que essa expressão seja real e bem definida é necessário que o quociente dentro da raiz seja maior ou igual a zero e que o denominador não seja zero. - A segunda componente é
. Para ser real, o argumento deve ser estritamente positivo. - A terceira componente é
. A função exponencial está definida para todo (sem restrição).
- A primeira componente é
Passo 2
Domínio da primeira componente
.
- Requisitos:
Note que a condição já está implícita ao exigir a fração bem definida. - Vamos resolver a desigualdade
. Identificamos os pontos críticos onde numerador ou denominador se anulam: - Estude o sinal da fração em cada intervalo determinado por esses pontos:
, e . - Para
: numerador , denominador ⇒ quociente . - Para
: numerador , denominador ⇒ quociente . - Para
: numerador , denominador ⇒ quociente .
- Para
- Em
a fração vale , o que é permitido (raiz de zero é ). Em a expressão é indefinida (denominador zero). - Portanto o conjunto de
que satisfaz a primeira componente é
Passo 3
Domínio da segunda componente
.
- Requisito:
. - Resolver
equivale a , isto é Note que as extremidades não são permitidas porque aí o argumento vira zero e é indefinido.
Passo 4
Domínio da terceira componente
.
- A função exponencial está definida para todo
. - Logo a terceira componente não impõe restrição adicional.
Passo 5
Interseção das restrições (domínio da curva inteira).
- O domínio da curva
é a interseção dos domínios das três componentes. - Intersectamos os conjuntos obtidos:
- Da primeira componente:
. - Da segunda componente:
. - Da terceira componente:
(não altera a interseção).
- Da primeira componente:
- Interseção com
corta os dois ramos da primeira componente: -
(porque e permanece excluído). -
(porque e o extremo é excluído pela condição do ln).
-
- Assim a interseção final é a união desses dois trechos.