Determine a equação da reta para os itens abaixo:
A reta que passa pelo ponto
e é perpendicular ao plano
5.
A reta que passa pelo ponto
Passo 1
O enunciado pede para determinar a equação da reta que passa pelo ponto
e é perpendicular ao plano
.\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Ponto por onde a reta passa:
. - Plano dado pela equação:
. - Pedido: encontrar a equação da reta (uma única reta) que satisfaz essas condições.
Passo 2
Entender o que significa “reta perpendicular ao plano”. Vou explicar isso devagarinho e sem mistério.
- Um plano dado por uma equação na forma
tem um vetor normal .
Esse vetoré perpendicular a todo vetor que esteja contido no plano. Não precisa decorar: os coeficientes da equação do plano são justamente as componentes do vetor normal. - Se uma reta é perpendicular ao plano, a direção da reta é paralela ao vetor normal do plano. Em outras palavras, o vetor diretor
da reta pode ser escolhido igual ao vetor normal (ou a qualquer múltiplo escalar dele).
Então, para achar a reta perpendicular ao plano, basta pegar o vetor normal do plano como vetor direção da reta e usar o ponto dado.
Passo 3
Achar o vetor normal do plano dado.
O plano é
. Comparando com
, tem-se
Portanto o vetor normal é
Como a reta é perpendicular ao plano, podemos escolher o vetor diretor da reta como
Passo 4
Escrever a equação vetorial (forma paramétrica vetorial) da reta.
Seja
o vetor posição genérico de um ponto qualquer da reta e
o vetor posição do ponto dado. A equação vetorial da reta com ponto
e vetor diretor
é
onde
é o parâmetro. Aqui:
Substituindo:
Passo 5
Extrair as equações paramétricas em coordenadas escalares.
Da equação vetorial
igualamos componentes:
Estas são as equações paramétricas da reta. Aqui
varia por todos os reais e cada
dá um ponto da reta.
Passo 6
Passar para a forma simétrica da reta (quando possível).
Daquelas equações paramétricas, isolamos
:
Igualando-as obtemos a forma simétrica
que pode ser simplificada (denominadores 1) para
Observação prática: a forma simétrica padrão é
quando todos os componentes de
são não nulos; aqui
tem todos componentes iguais a 1.
Passo 7
Checagem rápida (para ficar tranquilo): o vetor diretor escolhido
é paralelo ao vetor normal do plano
, logo a reta definida por esse vetor e pelo ponto dado é realmente perpendicular ao plano. Além disso, substituindo qualquer ponto da reta na equação do plano não é necessário (a reta cruza o plano em algum ponto), mas a condição de perpendicularidade já está garantida pela escolha de
.