Determine a equação da reta para os itens abaixo:
A reta que passa pelo ponto (1,0,6) e é perpendicular ao plano x+y+z= 5.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a equação da reta que passa pelo ponto (1,0,6) e é perpendicular ao plano \,x+y+z=5.\n
Informações relevantes fornecidas:
  • Ponto por onde a reta passa: \,(1,0,6).
  • Plano dado pela equação: \,x+y+z=5.
  • Pedido: encontrar a equação da reta (uma única reta) que satisfaz essas condições.

Passo 2

Entender o que significa “reta perpendicular ao plano”. Vou explicar isso devagarinho e sem mistério.
  • Um plano dado por uma equação na forma \,ax+by+cz=d tem um vetor normal \,\mathbf{n}=(a,b,c).
    Esse vetor \mathbf{n} é perpendicular a todo vetor que esteja contido no plano. Não precisa decorar: os coeficientes da equação do plano são justamente as componentes do vetor normal.
  • Se uma reta é perpendicular ao plano, a direção da reta é paralela ao vetor normal do plano. Em outras palavras, o vetor diretor \mathbf{v} da reta pode ser escolhido igual ao vetor normal \mathbf{n} (ou a qualquer múltiplo escalar dele).
Então, para achar a reta perpendicular ao plano, basta pegar o vetor normal do plano como vetor direção da reta e usar o ponto dado.

Passo 3

Achar o vetor normal do plano dado.
O plano é \,x+y+z=5. Comparando com \,ax+by+cz=d, tem-se
a=1,\quad b=1,\quad c=1.
Portanto o vetor normal é
\mathbf{n}=(1,1,1).
Como a reta é perpendicular ao plano, podemos escolher o vetor diretor da reta como
\mathbf{v}=(1,1,1).

Passo 4

Escrever a equação vetorial (forma paramétrica vetorial) da reta.
Seja \mathbf{r}=(x,y,z) o vetor posição genérico de um ponto qualquer da reta e \mathbf{r}_0 o vetor posição do ponto dado. A equação vetorial da reta com ponto \mathbf{r}_0 e vetor diretor \mathbf{v} é
\mathbf{r}=\mathbf{r}_0+t\,\mathbf{v},
onde t\in\mathbb{R} é o parâmetro. Aqui:
\mathbf{r}_0=(1,0,6),\qquad \mathbf{v}=(1,1,1).
Substituindo:
\mathbf{r}=(x,y,z)=(1,0,6)+t(1,1,1).

Passo 5

Extrair as equações paramétricas em coordenadas escalares.
Da equação vetorial (x,y,z)=(1,0,6)+t(1,1,1) igualamos componentes:
x=1+t,
y=0+t=t,
z=6+t.
Estas são as equações paramétricas da reta. Aqui t varia por todos os reais e cada t dá um ponto da reta.

Passo 6

Passar para a forma simétrica da reta (quando possível).
Daquelas equações paramétricas, isolamos t:
t=x-1,\qquad t=y,\qquad t=z-6.
Igualando-as obtemos a forma simétrica
\frac{x-1}{1}=\frac{y-0}{1}=\frac{z-6}{1},
que pode ser simplificada (denominadores 1) para
x-1=y=z-6.
Observação prática: a forma simétrica padrão é \dfrac{x-x_0}{v_x}=\dfrac{y-y_0}{v_y}=\dfrac{z-z_0}{v_z} quando todos os componentes de \mathbf{v} são não nulos; aqui \mathbf{v}=(1,1,1) tem todos componentes iguais a 1.

Passo 7

Checagem rápida (para ficar tranquilo): o vetor diretor escolhido \mathbf{v}=(1,1,1) é paralelo ao vetor normal do plano \mathbf{n}=(1,1,1), logo a reta definida por esse vetor e pelo ponto dado é realmente perpendicular ao plano. Além disso, substituindo qualquer ponto da reta na equação do plano não é necessário (a reta cruza o plano em algum ponto), mas a condição de perpendicularidade já está garantida pela escolha de \mathbf{v}.

Resposta

\mathbf{r}=(1,0,6)+t(1,1,1),\\ t\in\mathbb{R}
x=1+t,\\ y=t,\\ z=6+t,\\ t\in\mathbb{R}
\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-0}{1}=\dfrac{z-6}{1}

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