Seja
uma função integrável, com
para todo
. Se
é contínua em
e
, prove que
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
é uma função integrável em . - Para todo
vale . - Há um ponto
em que é contínua e .
O enunciado pede para provar que
Observação: como a questão está bem formulada, assumimos que
(se
a integral é
por definição e o enunciado não faria sentido na forma dada).
Passo 2
Entendendo a continuidade e sua consequência prática. Vou lembrar a definição de continuidade em linguagem simples: dizer que
é contínua em
significa que, quando
fica suficientemente perto de
, o valor
fica perto de
. Formalmente, para toda
existe
tal que, se
e
, então
.
Aqui eu uso essa definição com uma escolha prática de
. Como
, vou escolher
Pela continuidade, existe
tal que, para todo
com
, vale
Isto implica, por manipulação simples, que para esses
Portanto existe uma pequena vizinhança de
em que
é estritamente positiva e, mais precisamente, maior que
.
Passo 3
Construindo um subintervalo dentro de
onde
tem um limite inferior positivo. Defino
Pela construção,
(porque
e
), e
. A partir do passo anterior, para todo
temos
Esse
é uma constante positiva que serve como cota inferior de
em
.
Passo 4
Propriedades do integral que vou usar (explicando o porquê, sem pular etapas):
- Aditividade por partes: se
e é integrável em , então é integrável em cada subintervalo e
Intuição: a integral sobre o todo é a soma das integrais sobre pedaços disjuntos que cobrem o intervalo.
- Monotonicidade do integral: se em um intervalo
duas funções integráveis satisfazem para todo , então
Intuição: áreas sob o gráfico mantêm a desigualdade ponto a ponto.
- Integral de uma constante: se
é constante em , então
porque a “área” de um retângulo de altura
e largura
é
.
Essas propriedades são básicas para integrais (Riemann/Darboux) e podem ser vistas diretamente a partir das definições de somas superior/inferior ou das propriedades axiomáticas do integral.
Passo 5
Aplicando as propriedades ao nosso caso. Sabemos que, em
,
. Então, pela monotonicidade,
Como
e
, o produto
é estritamente positivo.
Agora uso a aditividade do integral:
As duas parcelas
e
são
porque
em todo
. Portanto
Passo 6
Conclusão final: obtivemos uma desigualdade que força a integral total a ser estritamente positiva. Assim fica provado que
Força aí — a ideia chave é simples e muito útil na prova: continuidade em um ponto com valor positivo dá uma pequena vizinhança onde a função não cai para zero; essa vizinhança gera uma área positiva sob o gráfico, e a integral total é pelo menos essa área.