(2,0) Seja f:[a, b] \longrightarrow \mathbb{R} uma função integrável, com f(x) \geq 0 para todo x \in[a, b]. Se f é contínua em c \in[a, b] e f\text{(c)}>0, prove que \int_{a}^{b} f(x) d x>0.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • f:[a,b]\longrightarrow\mathbb{R} é uma função integrável em [a,b].
  • Para todo x\in[a,b] vale f(x)\ge 0.
  • Há um ponto c\in[a,b] em que f é contínua e f\text{(c)}>0.
O enunciado pede para provar que
\int_{a}^{b} f(x)\,dx>0.
Observação: como a questão está bem formulada, assumimos que a<b (se a=b a integral é 0 por definição e o enunciado não faria sentido na forma dada).

Passo 2

Entendendo a continuidade e sua consequência prática. Vou lembrar a definição de continuidade em linguagem simples: dizer que f é contínua em c significa que, quando x fica suficientemente perto de c, o valor f(x) fica perto de f\text{(c)}. Formalmente, para toda \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se |x-c|<\delta e x\in[a,b], então |f(x)-f\text{(c)}|<\varepsilon.
Aqui eu uso essa definição com uma escolha prática de \varepsilon. Como f\text{(c)}>0, vou escolher
\varepsilon=\frac{f\text{(c)}}{2}>0.
Pela continuidade, existe \delta>0 tal que, para todo x\in[a,b] com |x-c|<\delta, vale
|f(x)-f\text{(c)}|<\frac{f\text{(c)}}{2}.
Isto implica, por manipulação simples, que para esses x
f(x)>\,f\text{(c)}-\frac{f\text{(c)}}{2}=\frac{f\text{(c)}}{2}.
Portanto existe uma pequena vizinhança de c em que f é estritamente positiva e, mais precisamente, maior que \dfrac{f\text{(c)}}{2}.

Passo 3

Construindo um subintervalo dentro de [a,b] onde f tem um limite inferior positivo. Defino
\alpha=\max\{a,c-\delta\},\qquad \beta=\min\{b,c+\delta\}.
Pela construção, \alpha<\beta (porque a<b e \delta>0), e [\alpha,\beta]\subset[a,b]. A partir do passo anterior, para todo x\in[\alpha,\beta] temos
f(x)\ge m \quad\text{com}\quad m:=\frac{f\text{(c)}}{2}>0.
Esse m é uma constante positiva que serve como cota inferior de f em [\alpha,\beta].

Passo 4

Propriedades do integral que vou usar (explicando o porquê, sem pular etapas):
  • Aditividade por partes: se a\le \alpha\le\beta\le b e f é integrável em [a,b], então f é integrável em cada subintervalo e
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \int_{a}^{\alpha} f(x)\,dx + \int_{\alpha}^{\beta} f(x)\,dx + \int_{\beta}^{b} f(x)\,dx.
Intuição: a integral sobre o todo é a soma das integrais sobre pedaços disjuntos que cobrem o intervalo.
  • Monotonicidade do integral: se em um intervalo I duas funções integráveis satisfazem g(x)\ge h(x) para todo x\in I, então
\int_{I} g(x)\,dx \ge \int_{I} h(x)\,dx.
Intuição: áreas sob o gráfico mantêm a desigualdade ponto a ponto.
  • Integral de uma constante: se m é constante em [\alpha,\beta], então
\int_{\alpha}^{\beta} m\,dx = m(\beta-\alpha),
porque a “área” de um retângulo de altura m e largura \beta-\alpha é m(\beta-\alpha).
Essas propriedades são básicas para integrais (Riemann/Darboux) e podem ser vistas diretamente a partir das definições de somas superior/inferior ou das propriedades axiomáticas do integral.

Passo 5

Aplicando as propriedades ao nosso caso. Sabemos que, em [\alpha,\beta], f(x)\ge m. Então, pela monotonicidade,
\int_{\alpha}^{\beta} f(x)\,dx \ge \int_{\alpha}^{\beta} m\,dx = m(\beta-\alpha).
Como m>0 e \beta-\alpha>0, o produto m(\beta-\alpha) é estritamente positivo.
Agora uso a aditividade do integral:
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \int_{a}^{\alpha} f(x)\,dx + \int_{\alpha}^{\beta} f(x)\,dx + \int_{\beta}^{b} f(x)\,dx.
As duas parcelas \int_{a}^{\alpha} f e \int_{\beta}^{b} f são \ge 0 porque f\ge 0 em todo [a,b]. Portanto
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \ge \int_{\alpha}^{\beta} f(x)\,dx \ge m(\beta-\alpha)>0.

Passo 6

Conclusão final: obtivemos uma desigualdade que força a integral total a ser estritamente positiva. Assim fica provado que
\int_{a}^{b} f(x)\,dx>0.
Força aí — a ideia chave é simples e muito útil na prova: continuidade em um ponto com valor positivo dá uma pequena vizinhança onde a função não cai para zero; essa vizinhança gera uma área positiva sob o gráfico, e a integral total é pelo menos essa área.

Resposta

\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx>0

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