Determine o domínio D para as funções abaixo, escolhendo para D a maior região do plano x y na qual a expressão dada esteja definida. Em cada caso, desenhe D.
(i) p(x, y)=\frac{x^{2}+y^{2}-x y^{2}}{x^{2}+y^{2}-6 y+9};
e pede duas coisas: determinar o domínio D — isto é, a maior região do plano xy onde a expressão está definida — e desenhar D. Informações relevantes fornecidas:
A expressão é uma razão de polinômios em x e y.
Precisamos encontrar todos os pontos (x,y) para os quais a expressão tem sentido (números reais).
Passo 2
Regra básica que vou usar (explicando devagar): polinômios em x e y são definidos para todos os pares (x,y)\in\mathbb{R}^2. Uma razão de polinômios
está definida para todos os (x,y) tais que o polinômio do denominador não seja zero. Portanto, para achar o domínio de p basta determinar o conjunto de pontos onde o denominador é diferente de zero:
\text{denominador}(x,y)=x^{2}+y^{2}-6y+9 \neq 0.
Passo 3
Vou analisar o denominador e tentar identificar onde ele se anula. Faço completamento de quadrado em y:
Agora resolvo a equação x^{2}+(y-3)^{2}=0. Como x^{2}\ge 0 e (y-3)^{2}\ge 0 para todo x,y, a soma só pode ser zero quando ambos os termos forem zero simultaneamente. Logo:
x^{2}=0 \quad\text{e}\quad (y-3)^{2}=0
o que dá
x=0 \quad\text{e}\quad y=3.
Portanto o denominador se anula apenas no ponto (0,3).
Passo 5
Verifico se há cancelamento possível (isto é, se o numerador também é zero nesse ponto, o que poderia indicar uma forma removível). Calculo o numerador em (0,3):
Como o numerador vale 9 em (0,3), não há cancelamento: a expressão original realmente não está definida em (0,3). (Mesmo que houvesse cancelamento algébrico, a expressão dada continua indefinida no ponto se o denominador original for zero; em contexto de extensão por continuidade isso pode ser discutido, mas aqui o domínio da expressão explícita exclui o ponto.)
Passo 6
Conclusão sobre o domínio: a única restrição vem do denominador, que anula somente em (0,3). Logo a maior região do plano onde a expressão está definida é todo o plano real exceto esse ponto isolado. Em notação:
D=\mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,3)\}.
Instruções para desenhar D (como pediram para desenhar): desenhar o plano xy normalmente e marcar com um círculo aberto (ou um ponto riscado) o ponto (0,3); todo o resto do plano pertence a D.
Passo 7
Dica rápida para prova (amigável): sempre primeiro olhe para o denominador e tente completar quadrados ou fatorar; se aparecer algo da forma x^{2}+(y-a)^{2} fica fácil ver que a nulidade pode corresponder a um ponto (se a soma de quadrados) ou a um círculo (se outro termo permitir). E lembre-se: a expressão dada está definida só onde o denominador é diferente de zero. Um exemplo análogo unidimensional: \dfrac{x^{2}-1}{x-1} tem domínio \mathbb{R}\setminus\{1\} mesmo que a expressão simplifique para x+1 — o valor em x=1 não pertence ao domínio original.