Determine o domínio
para as funções abaixo, escolhendo para
a maior região do plano
na qual a expressão dada esteja definida. Em cada caso, desenhe
.
(iv)
.
(iv)
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para determinar o domínio
— isto é, a maior região do plano
onde a expressão está definida — e desenhar
.
Informações fornecidas:
- A função é
. - Precisa-se do conjunto de todos os pares
nos quais essa expressão faz sentido (está definida).
O que é pedido:
- Determinar explicitamente o conjunto
onde está definida (a maior região possível). - Descrever / desenhar geometricamente
.
Passo 2
Lembrete importante sobre a função tangente (aula rápida e prática).
- A função
(tan) está definida sempre que . - Os zeros de
ocorrem exatamente nos pontos
ou seja, em todos os ângulos que são “meio-pi” mais múltiplos de
.
- Conclusão:
está definida se, e somente se,
Explicando devagar: a tangente é uma função periódica com período
e dá “estouro” (vertical asymptote) sempre que o cosseno é zero; nesses ângulos a tangente não existe.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso: o argumento da tangente é
Portanto a condição de definição é
Essa desigualdade é a restrição que define o domínio
.
Passo 4
Reescrevendo a condição em termos de
(mais conveniente para interpretar geometricamente):
Ou seja, não podemos ter
para nenhum
. Cada equação dessa, quando o lado direito é positivo, representa uma circunferência centrada na origem com raio igual à raiz quadrada desse valor.
Passo 5
Agora identificar quais valores de
produzem raios reais (lado direito positivo).
- Calcular quando
. - Isso é equivalente a
logo os inteiros válidos são
.
Para escrever de forma mais clara, coloque
com
. Então as igualdades proibidas ficam
Definindo
temos que os raios proibidos são
.
Passo 6
Interpretação geométrica e descrição final do domínio:
- O domínio
é o plano com a remoção de uma família infinita enumerável de circunferências concêntricas centradas na origem, cujos raios são , . - Em palavras: todo ponto do plano está permitido, exceto aqueles que satisfazem
para algum . - Os componentes conectados de
são os discos e anéis (intervalos radiais) entre essas circunferências: interior do círculo de menor raio, depois anel entre e , entre e , etc., e também a região externa ao último círculo (não há “último” — são infinitas circunferências, portanto anéis infinitos).
Dica para desenhar:
- Calcule numericamente alguns primeiros
para esboçar: , , , etc. - Desenhe círculos concêntricos de raios
e risque (ou trace em tracejado) essas circunferências — elas são os pontos excluídos; todo o resto do plano permanece.
Resposta
ou, equivalentemente,