Determine o domínio D para as funções abaixo, escolhendo para D a maior região do plano x y na qual a expressão dada esteja definida. Em cada caso, desenhe D.
(iv) h(x, y)=\operatorname{tg}\left(1-x^{2}-y^{2}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá a função h(x,y)=\operatorname{tg}\!\bigl(1-x^{2}-y^{2}\bigr) e pede para determinar o domínio D — isto é, a maior região do plano xy onde a expressão está definida — e desenhar D.
Informações fornecidas:
  • A função é h(x,y)=\operatorname{tg}\!\bigl(1-x^{2}-y^{2}\bigr).
  • Precisa-se do conjunto de todos os pares (x,y)\in\mathbb{R}^{2} nos quais essa expressão faz sentido (está definida).
O que é pedido:
  • Determinar explicitamente o conjunto D\subset\mathbb{R}^{2} onde h está definida (a maior região possível).
  • Descrever / desenhar geometricamente D.

Passo 2

Lembrete importante sobre a função tangente (aula rápida e prática).
  • A função \operatorname{tg}(t) (tan) está definida sempre que \cos t \neq 0.
  • Os zeros de \cos t ocorrem exatamente nos pontos
t=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z},
ou seja, em todos os ângulos que são “meio-pi” mais múltiplos de \pi.
  • Conclusão: \operatorname{tg}(t) está definida se, e somente se,
t \neq \frac{\pi}{2}+k\pi\quad\text{para todo }k\in\mathbb{Z}.
Explicando devagar: a tangente é uma função periódica com período \pi e dá “estouro” (vertical asymptote) sempre que o cosseno é zero; nesses ângulos a tangente não existe.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso: o argumento da tangente é
t=1-x^{2}-y^{2}.
Portanto a condição de definição é
1-x^{2}-y^{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi\qquad\text{para todo }k\in\mathbb{Z}.
Essa desigualdade é a restrição que define o domínio D.

Passo 4

Reescrevendo a condição em termos de x^{2}+y^{2} (mais conveniente para interpretar geometricamente):
x^{2}+y^{2}\neq 1-\Bigl(\frac{\pi}{2}+k\pi\Bigr) \qquad\text{para todo }k\in\mathbb{Z}.
Ou seja, não podemos ter
x^{2}+y^{2}=1-\Bigl(\frac{\pi}{2}+k\pi\Bigr)
para nenhum k\in\mathbb{Z}. Cada equação dessa, quando o lado direito é positivo, representa uma circunferência centrada na origem com raio igual à raiz quadrada desse valor.

Passo 5

Agora identificar quais valores de k produzem raios reais (lado direito positivo).
  • Calcular quando 1-\bigl(\tfrac{\pi}{2}+k\pi\bigr)>0.
  • Isso é equivalente a
k<\frac{1-\tfrac{\pi}{2}}{\pi}\approx -0{,}1818,
logo os inteiros válidos são k\le-1.
Para escrever de forma mais clara, coloque k=-n com n\in\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}. Então as igualdades proibidas ficam
x^{2}+y^{2}=1-\Bigl(\frac{\pi}{2}-n\pi\Bigr)=1+\pi\Bigl(n-\tfrac{1}{2}\Bigr).
Definindo
r_{n}^{2}=1+\pi\Bigl(n-\tfrac{1}{2}\Bigr),\qquad n=1,2,3,\dots,
temos que os raios proibidos são r_{n}=\sqrt{\,1+\pi\bigl(n-\tfrac{1}{2}\bigr)\,}.

Passo 6

Interpretação geométrica e descrição final do domínio:
  • O domínio D é o plano \mathbb{R}^{2} com a remoção de uma família infinita enumerável de circunferências concêntricas centradas na origem, cujos raios são r_{n}=\sqrt{1+\pi\bigl(n-\tfrac{1}{2}\bigr)}, n=1,2,3,\dots.
  • Em palavras: todo ponto do plano está permitido, exceto aqueles que satisfazem x^{2}+y^{2}=r_{n}^{2} para algum n\in\mathbb{N}.
  • Os componentes conectados de D são os discos e anéis (intervalos radiais) entre essas circunferências: interior do círculo de menor raio, depois anel entre r_{1} e r_{2}, entre r_{2} e r_{3}, etc., e também a região externa ao último círculo (não há “último” — são infinitas circunferências, portanto anéis infinitos).
Dica para desenhar:
  • Calcule numericamente alguns primeiros r_{n} para esboçar: r_{1}\approx\sqrt{1+\tfrac{\pi}{2}}\approx1{,}603, r_{2}\approx\sqrt{1+\tfrac{3\pi}{2}}\approx2{,}391, r_{3}\approx\sqrt{1+\tfrac{5\pi}{2}}\approx2{,}975, etc.
  • Desenhe círculos concêntricos de raios r_{1},r_{2},\dots e risque (ou trace em tracejado) essas circunferências — elas são os pontos excluídos; todo o resto do plano permanece.

Resposta

D=\bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 1-x^{2}-y^{2}\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi\\ \text{para todo }k\in\mathbb{Z}\bigr\}
ou, equivalentemente,
D=\mathbb{R}^{2}\setminus\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1+\pi\bigl(n-\tfrac{1}{2}\bigr)\bigr\}.

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