Questão 4) Calcule, se existir, os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{tg}(x)}{2 x}

Passo 1

O enunciado pede claramente o seguinte limite:
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg}(x)}{2x}.
Informações dadas:
  • A função envolvida é a tangente, escrita como \operatorname{tg}(x) (ou \tan x).
  • A variável x tende a 0.
    O que se pede: calcular o valor numérico, se existir, desse limite.

Passo 2

Vamos reescrever a tangente em termos de seno e cosseno, porque isso facilita usar limites básicos conhecidos. Lembrando que
\operatorname{tg}(x)=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}.
Substituindo na expressão do limite obtemos, para x\neq0,
\frac{\operatorname{tg}(x)}{2x}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}.
Isto é útil porque agora a expressão é produto de fatores simples cujos limites conhecemos ou podemos provar.

Passo 3

Explicando os fatores:
  • O fator \dfrac{1}{2} é constante, então sua contribuição para o limite é apenas multiplicar por \dfrac{1}{2}.
  • Precisamos então saber os limites de \dfrac{\sin x}{x} e de \dfrac{1}{\cos x} quando x\to0.

Passo 4

Vou provar de maneira elementar que
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
Prova (desenhando mentalmente o círculo unitário ou lembrando de uma desigualdade geométrica clássica): para 0<x<\tfrac{\pi}{2} vale a cadeia de desigualdades
\sin x < x < \tan x.
Dividindo toda a cadeia por \sin x (positivo nesse intervalo) obtemos
1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}.
Tomando recíprocos (mantendo a ordem inversa), chega-se a
\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1
para 0<x<\tfrac{\pi}{2}. Como \cos x\to\cos 0=1 quando x\to0^+, pelo teorema do aperto (squeeze theorem) segue que
\lim_{x\to0^+}\frac{\sin x}{x}=1.
Como a função \dfrac{\sin x}{x} é par (isto é, \dfrac{\sin(-x)}{-x}=\dfrac{\sin x}{x}), o limite pela esquerda é o mesmo, então
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.

Passo 5

Agora o outro fator: \dfrac{1}{\cos x}. Sabendo que \cos é contínua e \cos 0=1, tem-se
\lim_{x\to0}\cos x=1,
logo, passando ao recíproco (função recíproca é contínua onde o denominador não zera), obtemos
\lim_{x\to0}\frac{1}{\cos x}=\frac{1}{1}=1.

Passo 6

Como temos limites dos dois fatores e são finitos, podemos usar que o limite do produto é o produto dos limites. Assim,
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg}(x)}{2x} =\frac{1}{2}\cdot\left(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\right)\cdot\left(\lim_{x\to0}\frac{1}{\cos x}\right) =\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1.

Passo 7

Portanto o limite existe e é igual a \dfrac{1}{2}. (Pequeno chequinho: faz sentido numérico — por exemplo para x=0{,}01, \tan(0{,}01)\approx0{,}01000033, então \tan(0{,}01)/(2\cdot0{,}01)\approx0{,}5000165, bem próximo de 0{,}5.)

Resposta

\dfrac{1}{2}

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