Questão 4) Calcule, se existir, os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede claramente o seguinte limite:
Informações dadas:
- A função envolvida é a tangente, escrita como
(ou ). - A variável
tende a .
O que se pede: calcular o valor numérico, se existir, desse limite.
Passo 2
Vamos reescrever a tangente em termos de seno e cosseno, porque isso facilita usar limites básicos conhecidos. Lembrando que
Substituindo na expressão do limite obtemos, para
,
Isto é útil porque agora a expressão é produto de fatores simples cujos limites conhecemos ou podemos provar.
Passo 3
Explicando os fatores:
- O fator
é constante, então sua contribuição para o limite é apenas multiplicar por . - Precisamos então saber os limites de
e de quando .
Passo 4
Vou provar de maneira elementar que
Prova (desenhando mentalmente o círculo unitário ou lembrando de uma desigualdade geométrica clássica): para
vale a cadeia de desigualdades
Dividindo toda a cadeia por
(positivo nesse intervalo) obtemos
Tomando recíprocos (mantendo a ordem inversa), chega-se a
para
. Como
quando
, pelo teorema do aperto (squeeze theorem) segue que
Como a função
é par (isto é,
), o limite pela esquerda é o mesmo, então
Passo 5
Agora o outro fator:
. Sabendo que
é contínua e
, tem-se
logo, passando ao recíproco (função recíproca é contínua onde o denominador não zera), obtemos
Passo 6
Como temos limites dos dois fatores e são finitos, podemos usar que o limite do produto é o produto dos limites. Assim,
Passo 7
Portanto o limite existe e é igual a
. (Pequeno chequinho: faz sentido numérico — por exemplo para
,
, então
, bem próximo de
.)