Determine o domínio e as equações das assíntotas verticais e horizontais da função abaixo, caso existam.
f(x)=\frac{x^{2}+x-2}{x^{2}+2 x-3}

Passo 1

O enunciado nos dá a função racional
f(x)=\frac{x^{2}+x-2}{x^{2}+2x-3}
e pede três coisas:
  • determinar o domínio de f;
  • encontrar as equações das assíntotas verticais (se houver);
  • encontrar a equação da assíntota horizontal (se houver).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • o numerador é \,x^{2}+x-2\,;
  • o denominador é \,x^{2}+2x-3\,.
Vamos passo a passo e devagar — você chega lá.

Passo 2

Primeiro passo técnico importante (como regra geral): o domínio de uma função racional é o conjunto de todos os x tais que o denominador não se anula. Então devemos achar as raízes do denominador. Para isso fatoramos numerador e denominador.
Fatorando o numerador:
x^{2}+x-2=(x+2)(x-1).
Fatorando o denominador:
x^{2}+2x-3=(x+3)(x-1).
As raízes do denominador são as soluções de (x+3)(x-1)=0, ou seja x=-3 e x=1. Portanto, estes valores fazem o denominador valer zero e NÃO pertencem ao domínio. Anotação importante: a presença de (x-1) tanto no numerador quanto no denominador indica que há possibilidade de um ponto removível (buraco) em x=1; isso não faz com que x=1 volte ao domínio — o valor continua excluído — mas a forma da descontinuidade é diferente da de uma assíntota vertical. Vamos explorar isso no próximo passo.

Passo 3

Podemos simplificar a expressão cancelando o fator comum (x-1) (desde que lembremos que isso só vale para x\neq1). Após o cancelamento obtemos a expressão simplificada
f(x)=\frac{x^{2}+x-2}{x^{2}+2x-3}=\frac{x+2}{x+3}\quad\text{para }x\neq1.
Explicando a consequência do cancelamento: como o fator (x-1) aparecia tanto no numerador quanto no denominador, x=1 é um ponto em que a função original não está definida (denominador zero), mas o limite existe finito — isso caracteriza uma descontinuidade removível (um “buraco”). Para achar a altura do buraco, calculamos o limite quando x\to1 usando a forma simplificada:
\lim_{x\to1}\frac{x+2}{x+3}=\frac{1+2}{1+3}=\frac{3}{4}.
Logo há um buraco em \left(1,\tfrac{3}{4}\right). (Isso é informação útil, embora a questão peça apenas domínio e assíntotas.)

Passo 4

Agora identificar assíntotas verticais. Definição prática: x=a é assíntota vertical se \lim_{x\to a^\pm}f(x)=\pm\infty. Para funções racionais, isso acontece tipicamente em zeros do denominador que NÃO foram cancelados com o numerador.
Do fatoramento do denominador vimos os zeros x=1 e x=-3. O zero x=1 foi cancelado (produz um buraco), portanto não gera assíntota vertical. O zero x=-3 NÃO foi cancelado; portanto é candidato a assíntota vertical. Vamos verificar que f(x) diverge quando x\to-3.
Usamos a forma simplificada \displaystyle\frac{x+2}{x+3} (válida em todo lugar exceto x=1 e x=-3 onde o original não está definido). Ao aproximar x de -3 temos numerador aproximando -1 e denominador aproximando 0. Fazendo análise de sinal:
  • se x\to-3^+ então x+3\to0^+ e x+2\to-1, portanto \dfrac{x+2}{x+3}\to-\infty;
  • se x\to-3^- então x+3\to0^- e x+2\to-1, portanto \dfrac{x+2}{x+3}\to+\infty.
Como uma das (ou ambas) das limites laterais é infinita, x=-3 é realmente uma assíntota vertical. Conclusão: existe uma única assíntota vertical em x=-3.

Passo 5

Agora assíntota horizontal. Definição prática: y=L é assíntota horizontal se \lim_{x\to\infty}f(x)=L ou \lim_{x\to-\infty}f(x)=L. Para funções racionais existem regras simples com os graus (maiores poderes) do numerador e do denominador:
  • se grau(numerador) < grau(denominador), então y=0 é assíntota horizontal;
  • se grau(numerador) = grau(denominador), então a assíntota horizontal é y= razão dos coeficientes líderes;
  • se grau(numerador) > grau(denominador), não há assíntota horizontal (pode haver oblíqua).
Aqui o numerador tem grau 2 e o denominador tem grau 2 também, e os coeficientes dos termos x^{2} são ambos 1. Logo a assíntota horizontal é
y=\frac{1}{1}=1.
Podemos confirmar calculando o limite (usando a forma simplificada, que não altera o limite no infinito):
\lim_{x\to\infty}\frac{x+2}{x+3}=\lim_{x\to\infty}\frac{1+\tfrac{2}{x}}{1+\tfrac{3}{x}}=1,
e o mesmo para x\to -\infty. Portanto a assíntota horizontal é y=1.

Passo 6

Recapitulando (sem repetir em bloco final): excluímos x=1 e x=-3 do domínio porque o denominador anula-se nesses pontos; x=1 é um buraco (descontinuidade removível) pois o fator foi cancelado; x=-3 é uma assíntota vertical; e como os graus do numerador e denominador são iguais a assíntota horizontal é y=1.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}\setminus\{1,-3\}
Assíntota vertical: x=-3
Assíntota horizontal: y=1

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