Determine o domínio e as equações das assíntotas verticais e horizontais da função abaixo, caso existam.
Passo 1
O enunciado nos dá a função racional
e pede três coisas:
- determinar o domínio de
; - encontrar as equações das assíntotas verticais (se houver);
- encontrar a equação da assíntota horizontal (se houver).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- o numerador é
; - o denominador é
.
Vamos passo a passo e devagar — você chega lá.
Passo 2
Primeiro passo técnico importante (como regra geral): o domínio de uma função racional é o conjunto de todos os
tais que o denominador não se anula. Então devemos achar as raízes do denominador. Para isso fatoramos numerador e denominador.
Fatorando o numerador:
Fatorando o denominador:
As raízes do denominador são as soluções de
, ou seja
e
. Portanto, estes valores fazem o denominador valer zero e NÃO pertencem ao domínio. Anotação importante: a presença de
tanto no numerador quanto no denominador indica que há possibilidade de um ponto removível (buraco) em
; isso não faz com que
volte ao domínio — o valor continua excluído — mas a forma da descontinuidade é diferente da de uma assíntota vertical. Vamos explorar isso no próximo passo.
Passo 3
Podemos simplificar a expressão cancelando o fator comum
(desde que lembremos que isso só vale para
). Após o cancelamento obtemos a expressão simplificada
Explicando a consequência do cancelamento: como o fator
aparecia tanto no numerador quanto no denominador,
é um ponto em que a função original não está definida (denominador zero), mas o limite existe finito — isso caracteriza uma descontinuidade removível (um “buraco”). Para achar a altura do buraco, calculamos o limite quando
usando a forma simplificada:
Logo há um buraco em
. (Isso é informação útil, embora a questão peça apenas domínio e assíntotas.)
Passo 4
Agora identificar assíntotas verticais. Definição prática:
é assíntota vertical se
. Para funções racionais, isso acontece tipicamente em zeros do denominador que NÃO foram cancelados com o numerador.
Do fatoramento do denominador vimos os zeros
e
. O zero
foi cancelado (produz um buraco), portanto não gera assíntota vertical. O zero
NÃO foi cancelado; portanto é candidato a assíntota vertical. Vamos verificar que
diverge quando
.
Usamos a forma simplificada
(válida em todo lugar exceto
e
onde o original não está definido). Ao aproximar
de
temos numerador aproximando
e denominador aproximando
. Fazendo análise de sinal:
- se
então e , portanto ; - se
então e , portanto .
Como uma das (ou ambas) das limites laterais é infinita,
é realmente uma assíntota vertical. Conclusão: existe uma única assíntota vertical em
.
Passo 5
Agora assíntota horizontal. Definição prática:
é assíntota horizontal se
ou
. Para funções racionais existem regras simples com os graus (maiores poderes) do numerador e do denominador:
- se grau(numerador) < grau(denominador), então
é assíntota horizontal; - se grau(numerador) = grau(denominador), então a assíntota horizontal é
razão dos coeficientes líderes; - se grau(numerador) > grau(denominador), não há assíntota horizontal (pode haver oblíqua).
Aqui o numerador tem grau
e o denominador tem grau
também, e os coeficientes dos termos
são ambos
. Logo a assíntota horizontal é
Podemos confirmar calculando o limite (usando a forma simplificada, que não altera o limite no infinito):
e o mesmo para
. Portanto a assíntota horizontal é
.
Passo 6
Recapitulando (sem repetir em bloco final): excluímos
e
do domínio porque o denominador anula-se nesses pontos;
é um buraco (descontinuidade removível) pois o fator foi cancelado;
é uma assíntota vertical; e como os graus do numerador e denominador são iguais a assíntota horizontal é
.
Resposta
Domínio:
Assíntota vertical:
Assíntota horizontal:
Assíntota vertical:
Assíntota horizontal: