Escolha quatro itens abaixo e calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.
(e) lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{5}+x^{2}+3 x}{x^{4}+5 x^{3}+x^{2}-2 x+1}

Passo 1

O enunciado pede o seguinte limite quando x tende para +\infty:
\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{5}+x^{2}+3x}{x^{4}+5x^{3}+x^{2}-2x+1}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • O numerador é o polinômio x^{5}+x^{2}+3x.
  • O denominador é o polinômio x^{4}+5x^{3}+x^{2}-2x+1.
  • A questão pede saber o comportamento da razão desses polinômios quando x\to+\infty, isto é, se o limite existe e qual é seu valor.

Passo 2

Ideia e razão do método escolhido (explicação didática): para limites em infinito envolvendo quociente de polinômios, o termo de maior grau de cada polinômio domina o comportamento quando x é muito grande. Assim, comparando os graus:
  • grau do numerador é 5 (termo líder x^{5});
  • grau do denominador é 4 (termo líder x^{4}).
    Quando o grau do numerador é maior que o do denominador, a razão tende a infinito em módulo; o sinal do infinito depende dos coeficientes líderes e do sinal de x (aqui x\to+\infty, então x é positivo). Uma maneira algébrica padrão e segura é dividir numerador e denominador pela maior potência de x presente no denominador (ou pela maior entre os dois graus); aqui vamos dividir por x^{4}.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por x^{4} (expressão algébrica):
\frac{x^{5}+x^{2}+3x}{x^{4}+5x^{3}+x^{2}-2x+1} = \frac{\dfrac{x^{5}}{x^{4}}+\dfrac{x^{2}}{x^{4}}+\dfrac{3x}{x^{4}}}{\dfrac{x^{4}}{x^{4}}+\dfrac{5x^{3}}{x^{4}}+\dfrac{x^{2}}{x^{4}}-\dfrac{2x}{x^{4}}+\dfrac{1}{x^{4}}}.
Simplificando as potências:
= \frac{x + x^{-2} + 3x^{-3}}{1 + 5x^{-1} + x^{-2} - 2x^{-3} + x^{-4}}.

Passo 4

Analisando o comportamento das parcelas quando x\to+\infty:
  • \displaystyle x^{-1}\to 0, \displaystyle x^{-2}\to 0, \displaystyle x^{-3}\to 0, \displaystyle x^{-4}\to 0.
    Portanto, no numerador a expressão x + x^{-2} + 3x^{-3} comporta-se como x mais termos que tendem a zero; no denominador a expressão 1 + 5x^{-1} + x^{-2} - 2x^{-3} + x^{-4} tende para 1. Assim
\frac{x + x^{-2} + 3x^{-3}}{1 + 5x^{-1} + x^{-2} - 2x^{-3} + x^{-4}} \sim \frac{x}{1}=x \quad\text{quando }x\to+\infty.
Como x\to+\infty, a expressão equivalente x tende para +\infty. Além disso, para x grande e positivo, tanto o numerador quanto o denominador são positivos (o termo líder do numerador é x^{5} com coeficiente positivo e do denominador é x^{4} com coeficiente positivo), então o quociente cresce sem mudar de sinal. Logo o limite é +\infty.

Passo 5

Interpretação final e dica rápida para a prova: quando o grau do numerador é maior que o do denominador, o limite em +\infty de um quociente de polinômios é infinito em módulo; para saber o sinal basta olhar os coeficientes líderes e o sinal de x na direção considerada. Aqui isso dá +\infty.

Resposta

+\infty

Exercícios relacionados