Escolha quatro itens abaixo e calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado pede o seguinte limite quando
tende para
:
Informações dadas e observações imediatas:
- O numerador é o polinômio
. - O denominador é o polinômio
. - A questão pede saber o comportamento da razão desses polinômios quando
, isto é, se o limite existe e qual é seu valor.
Passo 2
Ideia e razão do método escolhido (explicação didática): para limites em infinito envolvendo quociente de polinômios, o termo de maior grau de cada polinômio domina o comportamento quando
é muito grande. Assim, comparando os graus:
- grau do numerador é
(termo líder ); - grau do denominador é
(termo líder ).
Quando o grau do numerador é maior que o do denominador, a razão tende a infinito em módulo; o sinal do infinito depende dos coeficientes líderes e do sinal de(aqui , então é positivo). Uma maneira algébrica padrão e segura é dividir numerador e denominador pela maior potência de presente no denominador (ou pela maior entre os dois graus); aqui vamos dividir por .
Passo 3
Dividindo numerador e denominador por
(expressão algébrica):
Simplificando as potências:
Passo 4
Analisando o comportamento das parcelas quando
:
-
, , , .
Portanto, no numerador a expressãocomporta-se como mais termos que tendem a zero; no denominador a expressão tende para . Assim
Como
, a expressão equivalente
tende para
. Além disso, para
grande e positivo, tanto o numerador quanto o denominador são positivos (o termo líder do numerador é
com coeficiente positivo e do denominador é
com coeficiente positivo), então o quociente cresce sem mudar de sinal. Logo o limite é
.
Passo 5
Interpretação final e dica rápida para a prova: quando o grau do numerador é maior que o do denominador, o limite em
de um quociente de polinômios é infinito em módulo; para saber o sinal basta olhar os coeficientes líderes e o sinal de
na direção considerada. Aqui isso dá
.