Escolha quatro itens abaixo e calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.
(d) lim _{x \rightarrow 2} \ln \left(\sqrt{\frac{x^{3}+x^{2}-6 x}{x^{2}-4}}\right)
Observação didática: esse cancelamento é legítimo porque na definição de limite consideramos x próximos de 2 mas não necessariamente igual a 2. O cancelamento remove uma possível indeterminação do tipo \tfrac{0}{0} transformando-a numa função equivalente para x\neq2. Se a expressão resultante for contínua em x=2, o limite será o valor obtido por substituição.
Passo 4
Avaliar a função simplificada no ponto x=2 (substituição direta), verificando também o sinal (necessário para \sqrt{\cdot} e \ln(\cdot)):
Note que \dfrac{5}{2}>0. Isso é importante porque:
A raiz quadrada real \sqrt{y} exige y\ge 0; aqui, no entorno de x=2 a expressão simplificada é contínua e toma valor positivo em x=2, então é positiva em uma vizinhança de 2.
O logaritmo natural \ln(z) exige z>0; como \sqrt{\dfrac{5}{2}}>0, o argumento do \ln é admissível.
Como a função simplificada \dfrac{x(x+3)}{x+2} é contínua em x=2 (denominador x+2 não é zero em 2), e as funções \sqrt{\cdot} e \ln(\cdot) são contínuas sobre seus domínios apropriados, a composição é contínua na vizinhança de 2. Portanto, o limite pode ser obtido por substituição no composto.
Passo 5
Aplicar a substituição na expressão original (agora sem indeterminação) e usar propriedades de logaritmo para simplificar a forma final. Primeiro escrevemos o que sobra ao substituir:
\ln\!\left(\sqrt{\frac{5}{2}}\right).
Usando a propriedade \ln(a^{b})=b\ln(a) (válida para a>0), obtemos