Escolha quatro itens abaixo e calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.
(d) lim _{x \rightarrow 2} \ln \left(\sqrt{\frac{x^{3}+x^{2}-6 x}{x^{2}-4}}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 2} \ln\!\left(\sqrt{\frac{x^{3}+x^{2}-6x}{x^{2}-4}}\right).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A variável tende para x=2.
  • A expressão envolve um logaritmo natural \ln(\cdot) e uma raiz quadrada \sqrt{\cdot} aplicada a uma fração racional \dfrac{x^{3}+x^{2}-6x}{x^{2}-4}.
  • É preciso verificar existência do limite (domínio, sinais, indeterminações) e, se existir, calcular o seu valor.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: fatorar numerador e denominador para ver se há cancelamento de fatores que causem indeterminação em x=2.
Fatorando o numerador:
x^{3}+x^{2}-6x = x\,(x^{2}+x-6).
Fatorizando a quadrática x^{2}+x-6: procurar dois números que multiplicam -6 e somam 1. São 3 e -2. Assim:
x^{2}+x-6=(x+3)(x-2),
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x^{3}+x^{2}-6x = x\,(x+3)(x-2).
Fatorando o denominador:
x^{2}-4=(x-2)(x+2).

Passo 3

Para x\neq 2 (na vizinhança do ponto onde a variável tende), a fração simplifica cancelando o fator (x-2):
\frac{x^{3}+x^{2}-6x}{x^{2}-4}=\frac{x\,(x+3)(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{x\,(x+3)}{x+2},\qquad x\neq 2.
Observação didática: esse cancelamento é legítimo porque na definição de limite consideramos x próximos de 2 mas não necessariamente igual a 2. O cancelamento remove uma possível indeterminação do tipo \tfrac{0}{0} transformando-a numa função equivalente para x\neq2. Se a expressão resultante for contínua em x=2, o limite será o valor obtido por substituição.

Passo 4

Avaliar a função simplificada no ponto x=2 (substituição direta), verificando também o sinal (necessário para \sqrt{\cdot} e \ln(\cdot)):
\frac{x\,(x+3)}{x+2}\Bigg|_{x=2}=\frac{2\,(2+3)}{2+2}=\frac{2\cdot 5}{4}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}.
Note que \dfrac{5}{2}>0. Isso é importante porque:
  • A raiz quadrada real \sqrt{y} exige y\ge 0; aqui, no entorno de x=2 a expressão simplificada é contínua e toma valor positivo em x=2, então é positiva em uma vizinhança de 2.
  • O logaritmo natural \ln(z) exige z>0; como \sqrt{\dfrac{5}{2}}>0, o argumento do \ln é admissível.
Como a função simplificada \dfrac{x(x+3)}{x+2} é contínua em x=2 (denominador x+2 não é zero em 2), e as funções \sqrt{\cdot} e \ln(\cdot) são contínuas sobre seus domínios apropriados, a composição é contínua na vizinhança de 2. Portanto, o limite pode ser obtido por substituição no composto.

Passo 5

Aplicar a substituição na expressão original (agora sem indeterminação) e usar propriedades de logaritmo para simplificar a forma final. Primeiro escrevemos o que sobra ao substituir:
\ln\!\left(\sqrt{\frac{5}{2}}\right).
Usando a propriedade \ln(a^{b})=b\ln(a) (válida para a>0), obtemos
\ln\!\left(\sqrt{\frac{5}{2}}\right)=\ln\!\left(\left(\frac{5}{2}\right)^{1/2}\right)=\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{5}{2}\right).

Resposta

\dfrac{1}{2}\ln\!\left(\dfrac{5}{2}\right)

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