Determine o domínio das expressões.
\frac{\sqrt{49-x^{2}}}{\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da expressão \frac{\sqrt{49-x^{2}}}{\sqrt{x}}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O numerador é \sqrt{49-x^{2}}.
  • O denominador é \sqrt{x}.
  • Trata-se de domínio em \mathbb{R} (valores reais de x).

Passo 2

Condição imposta pelo numerador: o radicando da raiz quadrada deve ser não negativo, isto é
49-x^{2}\ge 0.
Explicando: a raiz quadrada real \sqrt{\,\cdot\,} só está definida para entradas \ge 0. Agora resolvemos a desigualdade:
49-x^{2}\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}\le 49.
Como x^{2}\le 49 significa que x está entre as raízes -7 e 7, obtemos
-7\le x\le 7.

Passo 3

Condições impostas pelo denominador: para \sqrt{x} ser um número real e não anular o denominador devemos ter
x\ge 0 \quad\text{e}\quad \sqrt{x}\neq 0.
Explicando em palavras: \sqrt{x} exige x\ge 0; além disso, divisão por zero é proibida, então não podemos ter \sqrt{x}=0, o que acontece quando x=0. Portanto a condição do denominador reduz-se a
x>0.

Passo 4

Agora intersectamos as duas restrições (do numerador e do denominador). Do numerador temos -7\le x\le 7. Do denominador temos x>0. Assim o domínio é
[-7,7]\cap(0,\infty)=(0,7].

Passo 5

Verificação rápida de extremidades:
  • Em x=0 a expressão não está definida porque \sqrt{x}=0 no denominador (divisão por zero). Logo x=0 é excluído.
  • Em x=7 temos \sqrt{49-7^{2}}=\sqrt{0}=0 e \sqrt{7}>0, então a expressão vale 0 e x=7 é permitido.
  • Qualquer x com 0<x<7 também funciona: ambos radicandos são positivos.

Resposta

(0,7]

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