Determine o domínio das expressões.
\frac{x}{3 x-8}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da expressão \dfrac{x}{3x-8}.
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão é a função racional \dfrac{x}{3x-8}.
  • O numerador é x.
  • O denominador é 3x-8.
  • Não há outras restrições explícitas (assume-se que estamos trabalhando com números reais).

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): o domínio de uma expressão algébrica é o conjunto de valores de x nos quais a expressão está bem definida (aqui: em \mathbb{R}). Para uma fração, a única restrição típica é que o denominador não pode ser zero, porque divisão por zero não é definida. Portanto, para \dfrac{x}{3x-8} devemos exigir que o denominador 3x-8 seja diferente de zero:
3x-8 \neq 0.

Passo 3

Resolver a condição de não anular o denominador. Vamos achar o(s) valor(es) de x que tornariam 3x-8=0, porque esses serão excluídos do domínio.
Começando com a equação
3x-8=0,
somando 8 aos dois lados:
3x = 8,
dividindo ambos os lados por 3:
x = \dfrac{8}{3}.
Isso significa que x=\dfrac{8}{3} anula o denominador, logo é o valor proibido.

Passo 4

Concluir o domínio: todos os números reais exceto x=\dfrac{8}{3}. Em notação de conjunto:
\{\,x\in\mathbb{R}\mid x\neq \tfrac{8}{3}\,\}.
Em notação por intervalos:
\left(-\infty,\tfrac{8}{3}\right)\cup\left(\tfrac{8}{3},\infty\right).
Exemplos rápidos para fixar:
  • Se x=0, \dfrac{0}{3\cdot0-8}=\dfrac{0}{-8}=0 está definido.
  • Se x=\dfrac{8}{3}, o denominador é zero e a expressão não está definida.
Dica de prova: para qualquer fração racional, basta encontrar as raízes do denominador e excluí-las do conjunto dos reais.

Resposta

\{\,x\in\mathbb{R}\mid x\neq \tfrac{8}{3}\,)
\left(-\infty,\tfrac{8}{3}\right)\cup\left(\tfrac{8}{3},\infty\right)

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