Resolva as desigualdades.
0 \leq x^{2}-x \leq 20

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os valores de x que satisfazem a desigualdade composta
0 \leq x^{2}-x \leq 20.
Informações dadas:
  • A expressão a analisar é x^{2}-x.
  • A desigualdade é composta: tem uma parte inferior 0 \leq x^{2}-x e uma parte superior x^{2}-x \leq 20.
    O objetivo é achar o conjunto de todos os x que satisfazem simultaneamente as duas desigualdades.

Passo 2

Estratégia (explicada passo a passo): uma desigualdade composta do tipo
0 \leq x^{2}-x \leq 20
é equivalente à interseção (valores em comum) das soluções das duas desigualdades separadas
x^{2}-x \geq 0 \qquad\text{e}\qquad x^{2}-x \leq 20.
Vou resolver cada uma separadamente e depois tomar a interseção dos conjuntos de soluções.

Passo 3

Resolver x^{2}-x \geq 0.
Primeiro fatoramos a expressão: x^{2}-x = x(x-1). As raízes da função quadrática são x=0 e x=1.
Conceito rápido (como interpretar x(x-1)\geq0): um produto de dois fatores é não-negativo quando ambos os fatores são não-negativos ou ambos são não-positivos. Além disso, uma parábola x^{2}-x tem concavidade para cima (coeficiente de x^2 positivo), então ela é negativa entre as raízes e positiva fora delas.
Aplicando isso: a inequação x(x-1)\geq0 é satisfeita para
x\in(-\infty,0]\cup[1,\infty).
Verificação rápida por pontos:
  • x=-1: (-1)^2-(-1)=1+1=2\ge0 — satisfeito.
  • x=0{,}5: (0{,}5)^2-0{,}5=0{,}25-0{,}5=-0{,}25<0 — não satisfeito.
  • x=2: 4-2=2\ge0 — satisfeito.

Passo 4

Resolver x^{2}-x \leq 20.
Primeiro trazemos tudo para um lado:
x^{2}-x-20 \leq 0.
Factorização: procurar dois números cujo produto seja -20 e soma -1. Esses números são -5 e 4. Logo
x^{2}-x-20=(x-5)(x+4).
As raízes são x=-4 e x=5. Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola abre para cima e a expressão é não-positiva entre as raízes. Portanto:
x\in[-4,5].
Verificação rápida por pontos:
  • x=0: 0-0=0\le20 — satisfeito.
  • x=6: 36-6=30>20 — não satisfeito.
  • x=-5: 25+5=30>20 — não satisfeito.

Passo 5

Interseção das soluções.
Temos:
\text{solução de }x^{2}-x\ge0:\quad x\in(-\infty,0]\cup[1,\infty),çã
\text{solução de }x^{2}-x\le20:\quad x\in[-4,5].çã
A solução da desigualdade composta é a interseção desses conjuntos: pegar somente os x que aparecem em ambos. Isso dá:
  • Interseção de (-\infty,0] com [-4,5] é [-4,0].
  • Interseção de [1,\infty) com [-4,5] é [1,5].

Passo 6

Verificações finais nos extremos (mostrando que os extremos são incluídos):
  • Para x=-4: x^{2}-x = 16+4=20, satisfaz 0\le\cdot\le20.
  • Para x=0: 0-0=0, satisfaz.
  • Para x=1: 1-1=0, satisfaz.
  • Para x=5: 25-5=20, satisfaz.
Também é útil testar um ponto interno, por exemplo x=-2: (-2)^2-(-2)=4+2=6, que está entre 0 e 20. Tudo consistente.

Resposta

\;[-4,0]\cup[1,5]

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