Resolva as desigualdades.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todos os valores de
que satisfazem a desigualdade composta
Informações dadas:
- A expressão a analisar é
. - A desigualdade é composta: tem uma parte inferior
e uma parte superior .
O objetivo é achar o conjunto de todos osque satisfazem simultaneamente as duas desigualdades.
Passo 2
Estratégia (explicada passo a passo): uma desigualdade composta do tipo
é equivalente à interseção (valores em comum) das soluções das duas desigualdades separadas
Vou resolver cada uma separadamente e depois tomar a interseção dos conjuntos de soluções.
Passo 3
Resolver
.
Primeiro fatoramos a expressão:
. As raízes da função quadrática são
e
.
Conceito rápido (como interpretar
): um produto de dois fatores é não-negativo quando ambos os fatores são não-negativos ou ambos são não-positivos. Além disso, uma parábola
tem concavidade para cima (coeficiente de
positivo), então ela é negativa entre as raízes e positiva fora delas.
Aplicando isso: a inequação
é satisfeita para
Verificação rápida por pontos:
-
: — satisfeito. -
: — não satisfeito. -
: — satisfeito.
Passo 4
Resolver
.
Primeiro trazemos tudo para um lado:
Factorização: procurar dois números cujo produto seja
e soma
. Esses números são
e
. Logo
As raízes são
e
. Como o coeficiente de
é positivo, a parábola abre para cima e a expressão é não-positiva entre as raízes. Portanto:
Verificação rápida por pontos:
-
: — satisfeito. -
: — não satisfeito. -
: — não satisfeito.
Passo 5
Interseção das soluções.
Temos:
A solução da desigualdade composta é a interseção desses conjuntos: pegar somente os
que aparecem em ambos. Isso dá:
- Interseção de
com é . - Interseção de
com é .
Passo 6
Verificações finais nos extremos (mostrando que os extremos são incluídos):
- Para
: , satisfaz . - Para
: , satisfaz. - Para
: , satisfaz. - Para
: , satisfaz.
Também é útil testar um ponto interno, por exemplo
:
, que está entre
e
. Tudo consistente.