Determine o domínio das expressões.
\sqrt[3]{x-7}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio da expressão \sqrt[3]{x-7}.
Informações dadas:
  • A expressão é \sqrt[3]{x-7}.
  • O índice da raiz é 3 (ou seja, é uma raiz cúbica).
  • A variável é x e precisamos dizer para quais valores de x a expressão está bem definida.

Passo 2

Entender a diferença entre raízes de índice par e ímpar (a ideia chave).
  • Para uma raiz de índice par, por exemplo \sqrt{\,\cdot\,}=\sqrt[2]{\,\cdot\,}, o radicando precisa ser maior ou igual a zero porque não existe raiz quadrada real de um número negativo. Em termos: se temos \sqrt[n]{A} com n par, então é necessário A\ge 0.
  • Para uma raiz de índice ímpar, como \sqrt[3]{\,\cdot\,}, não há essa restrição: números negativos também têm raiz cúbica real. Em termos: se temos \sqrt[n]{A} com n ímpar, qualquer A\in\mathbb{R} tem uma raiz real.
Por que isso acontece (explicação simples): a função potência f(y)=y^n com n ímpar é uma bijeção de \mathbb{R} em \mathbb{R} — ela troca sinais e percorre todos os reais. Logo, para qualquer número real A existe um y real tal que y^n=A. Para n par, y^n só produz números \ge 0, por isso há restrição.

Passo 3

Aplicando isso à nossa expressão: como o índice é 3 (ímpar), o radicando x-7 pode ser qualquer número real — não há necessidade de impor x-7\ge0. Uma forma algébrica de ver isso:
Suponha y=\sqrt[3]{x-7}. Então, elevando os dois lados ao cubo,
y^3 = x-7.
Isolando x,
x = y^3 + 7.
Como y pode ser qualquer número real, y^3+7 também pode assumir qualquer valor real. Portanto não existe valor de x que torne a expressão inválida — todo x real é aceito.

Passo 4

Exemplos concretos para fixar a ideia:
  • \sqrt[3]{-8} = -2 (o radicando é negativo e a raiz existe).
  • \sqrt[3]{0} = 0.
  • \sqrt[3]{1} = 1.
    Compare mentalmente com \sqrt{x-7}: essa exigiria x\ge7, mas a cúbica não.

Resposta

\mathbb{R}

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