Determine o domínio das expressões.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o domínio da expressão
.
Informações dadas:
- A expressão é
. - O índice da raiz é
(ou seja, é uma raiz cúbica). - A variável é
e precisamos dizer para quais valores de a expressão está bem definida.
Passo 2
Entender a diferença entre raízes de índice par e ímpar (a ideia chave).
- Para uma raiz de índice par, por exemplo
, o radicando precisa ser maior ou igual a zero porque não existe raiz quadrada real de um número negativo. Em termos: se temos com par, então é necessário . - Para uma raiz de índice ímpar, como
, não há essa restrição: números negativos também têm raiz cúbica real. Em termos: se temos com ímpar, qualquer tem uma raiz real.
Por que isso acontece (explicação simples): a função potência
com
ímpar é uma bijeção de
em
— ela troca sinais e percorre todos os reais. Logo, para qualquer número real
existe um
real tal que
. Para
par,
só produz números
, por isso há restrição.
Passo 3
Aplicando isso à nossa expressão: como o índice é
(ímpar), o radicando
pode ser qualquer número real — não há necessidade de impor
. Uma forma algébrica de ver isso:
Suponha
. Então, elevando os dois lados ao cubo,
Isolando
,
Como
pode ser qualquer número real,
também pode assumir qualquer valor real. Portanto não existe valor de
que torne a expressão inválida — todo
real é aceito.
Passo 4
Exemplos concretos para fixar a ideia:
-
(o radicando é negativo e a raiz existe). -
. -
.
Compare mentalmente com: essa exigiria , mas a cúbica não.