Determine o domínio das expressões.
Passo 1
O enunciado dá a expressão
e pede: determinar o domínio dessa expressão.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- Há uma raiz quadrada
. Isso implica uma restrição sobre o radicando: o número dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero. - Há uma divisão por
. Isso implica que o denominador não pode ser zero, ou seja, não pode ser .
Passo 2
Tratar a condição da raiz quadrada. Regra: para
ser real, é necessário que
. Aqui
. Então exigimos
Vamos resolver essa desigualdade. Podemos reorganizar como
Uma forma direta de interpretar isso é usar valor absoluto:
o que significa
Outra forma (equivalente) é fatorar:
e analisar o sinal do produto; o produto é não negativo quando
está entre as raízes
e
. Em ambas as formas chega-se à mesma solução: todos os
com
satisfazem a condição da raiz.
Passo 3
Tratar a condição do denominador. Regra: não se pode dividir por zero, então exigimos
ou seja
Essa é uma proibição pontual: apenas o valor
é vetado pela divisão.
Passo 4
Combinar as duas restrições: o domínio é o conjunto de
que satisfazem simultaneamente
e
. Portanto fazemos a interseção
Verificação rápida nos pontos críticos:
- Em
e em o radicando é zero, então e a expressão vale (desde que o denominador não seja zero nesses pontos, o que não é: e ). Logo e pertencem ao domínio. - Em
o denominador é zero, então a expressão é indefinida. Logo não pertence ao domínio. - Qualquer
estritamente entre e , exceto , torna o radicando positivo e o denominador diferente de zero, portanto esses são válidos.