Determine o domínio das expressões.
\frac{\sqrt{9-x^{2}}}{x-1}

Passo 1

O enunciado dá a expressão \dfrac{\sqrt{9-x^{2}}}{x-1} e pede: determinar o domínio dessa expressão.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Há uma raiz quadrada \sqrt{9-x^{2}}. Isso implica uma restrição sobre o radicando: o número dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero.
  • Há uma divisão por x-1. Isso implica que o denominador não pode ser zero, ou seja, x não pode ser 1.

Passo 2

Tratar a condição da raiz quadrada. Regra: para \sqrt{A} ser real, é necessário que A \ge 0. Aqui A=9-x^{2}. Então exigimos
9-x^{2}\ge 0.
Vamos resolver essa desigualdade. Podemos reorganizar como
x^{2}\le 9.
Uma forma direta de interpretar isso é usar valor absoluto:
|x|\le 3,
o que significa
-3 \le x \le 3.
Outra forma (equivalente) é fatorar:
9-x^{2}=(3-x)(3+x),
e analisar o sinal do produto; o produto é não negativo quando x está entre as raízes -3 e 3. Em ambas as formas chega-se à mesma solução: todos os x com
-3 \le x \le 3
satisfazem a condição da raiz.

Passo 3

Tratar a condição do denominador. Regra: não se pode dividir por zero, então exigimos
x-1 \ne 0,
ou seja
x \ne 1.
Essa é uma proibição pontual: apenas o valor x=1 é vetado pela divisão.

Passo 4

Combinar as duas restrições: o domínio é o conjunto de x que satisfazem simultaneamente -3 \le x \le 3 e x \ne 1. Portanto fazemos a interseção
[-3,3] \cap (\mathbb{R}\setminus\{1\}) = [-3,1)\cup(1,3].
Verificação rápida nos pontos críticos:
  • Em x=-3 e em x=3 o radicando é zero, então \sqrt{9-x^{2}}=0 e a expressão vale 0 (desde que o denominador não seja zero nesses pontos, o que não é: -3-1=-4\neq0 e 3-1=2\neq0). Logo -3 e 3 pertencem ao domínio.
  • Em x=1 o denominador é zero, então a expressão é indefinida. Logo 1 não pertence ao domínio.
  • Qualquer x estritamente entre -3 e 3, exceto 1, torna o radicando positivo e o denominador diferente de zero, portanto esses x são válidos.

Resposta

[-3,1)\cup(1,3]

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