Determine o domínio
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para determinar o domínio da função vetorial
. Isso significa que precisamos encontrar todos os valores de
que fazem com que cada componente da função esteja definida. Vamos precisar entender sobre funções racionais, raízes de índice par e funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a segunda componente:
. Para que essa fração esteja definida, o denominador não pode ser zero. Então:
Isso já nos dá uma restrição:
não pode ser zero.
Passo 3
Agora, vamos para a terceira componente:
. Como estamos lidando com uma raiz de índice par (a 4ª raiz), o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero. Portanto:
Resolvendo essa desigualdade:
Então,
deve estar entre
e
.
Passo 4
A última componente é
. A função arco-tangente está definida para todos os números reais, não impõe restrições adicionais ao nosso domínio.
Passo 5
Agora, juntando todas as restrições que encontramos:
-
(da segunda componente) -
(da terceira componente)
Portanto, o domínio é todos os valores de
entre
e
, exceto o zero.
Resposta
O domínio de
é: