As funções f(x)=x^n e g(x) = raiz(n)(x) têm o domínio comum x > 0, para todo n in N. Estabeleça um intervalo tal que
g(x) ≥ f(x)
e calcule a área entre os dois gráficos destas funções.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas funções: e . Nosso objetivo é encontrar o intervalo onde é maior ou igual a e, depois, calcular a área entre os gráficos dessas duas funções nesse intervalo. Para resolver isso, vamos precisar entender como comparar funções exponenciais e suas raízes, além de calcular integrais para encontrar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde . Isso significa resolver a equação:
Para resolver isso, vamos igualar os expoentes. Sabemos que , então podemos dividir ambos os lados por (desde que ):
Isso implica que:
Sabemos que qualquer número elevado a 0 é 1, então:
Multiplicando ambos os lados por :
Como é um número natural ( ), descartamos e temos . Portanto, as funções e se igualam quando .

Passo 3

Agora, vamos analisar onde . Considerando que é um número natural maior ou igual a 1, vejamos alguns casos:
  • Quando :
    e , então para todo . Nesse caso, as duas funções coincidem e a área entre elas é zero.
  • Quando :
    Vamos comparar as funções e . Para :
    • Se , , então .
    • Se , .
    • Se , , então .
Portanto, o intervalo onde é .

Passo 4

Agora que temos o intervalo , vamos calcular a área entre as duas funções nesse intervalo. A área entre duas curvas e de a é dada por:
Á
Substituindo , , e :
Á

Passo 5

Vamos calcular a integral:
Portanto, a área é:
Á
Calculando em :
Em , ambos os termos são zero.

Resposta

A área entre os gráficos das funções e no intervalo é:
Á

Exercícios relacionados