Esboce a imagem das seguintes curvas
F(t) = (t, t, 1/t), t ≥ 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçarmos a imagem da curva definida por onde . Isso envolve entender curvas parametrizadas no espaço 3D. Para resolver, vamos analisar como as coordenadas , e se comportam conforme varia.

Passo 2

Primeiro, observamos que e , então . Isso significa que qualquer ponto na curva terá as coordenadas e iguais. Então, a curva está restrita ao plano onde .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a coordenada . Temos . Conforme aumenta, diminui e se aproxima de 0. Quando se aproxima de 0, cresce sem limites (vai para o infinito).

Passo 4

Vamos juntar essas informações. A curva está no plano e à medida que varia de 0 a , e aumentam linearmente, enquanto diminui exponencialmente. Isso cria uma espécie de hélice ou espiral que desce no espaço à medida que avança no plano .

Passo 5

Para visualizar melhor, podemos plotar alguns pontos:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
    Isso mostra como a curva se estende no espaço.

Resposta

A imagem da curva para é uma linha que se move ao longo do plano no espaço 3D, começando de indo ao infinito quando se aproxima de 0 e descendo em direção a conforme aumenta, formando uma trajetória semelhante a uma hélice descendo.

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