Determine o domínio de:
f(x, y)=\frac{5}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}

Passo 1

Temos a função de duas variáveis
f(x,y)=\frac{5}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},
e queremos encontrar seu domínio, ou seja, o conjunto de pontos (x,y) para os quais a expressão está bem definida e finita.

Passo 2

Para que \sqrt{x^{2}+y^{2}} exista como número real, é preciso ter
x^{2}+y^{2}\ge 0,
o que já é sempre verdade para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2}. Além disso, como esse termo fica no denominador, é preciso evitar que ele seja zero. Logo, exigimos
\sqrt{x^{2}+y^{2}}\neq 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+y^{2}\neq 0.

Passo 3

A condição x^{2}+y^{2}\neq 0 significa exatamente que (x,y) não pode ser o ponto (0,0). Portanto, todos os demais pontos de \mathbb{R}^{2} são permitidos.

Resposta

O domínio de f é
D = \bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}>0\bigr\}
que pode ser escrito como
D = \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.

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