Calcular as derivadas pela definição:
H. 123 f(x)=\cos x, & x_{0}=\frac{\pi}{4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=\cos x em x_{0}=\tfrac{\pi}{4} usando a definição de derivada a partir do limite
f'(x_{0})=\lim_{h\to0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}.
O conteúdo é derivada pela definição e vamos precisar de uma identidade trigonométrica para o numerador.

Passo 2

Escrevendo a definição para f(x)=\cos x em x_{0}, temos
f'(x_{0}) =\lim_{h\to0}\frac{\cos\bigl(x_{0}+h\bigr)-\cos(x_{0})}{h}.

Passo 3

Usamos a identidade
\cos(\alpha+\beta)-\cos\alpha=-2\sin\!\Bigl(\alpha+\frac{\beta}{2}\Bigr)\,\sin\!\Bigl(\frac{\beta}{2}\Bigr),
com \alpha=x_{0} e \beta=h. Então o numerador vira
\cos(x_{0}+h)-\cos(x_{0}) =-2\sin\!\Bigl(x_{0}+\tfrac{h}{2}\Bigr)\,\sin\!\Bigl(\tfrac{h}{2}\Bigr).

Passo 4

Substituindo isso no quociente, obtemos
\frac{\cos(x_{0}+h)-\cos(x_{0})}{h} =-2\,\sin\!\Bigl(x_{0}+\tfrac{h}{2}\Bigr)\,\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{h}{2}\bigr)}{h}.
Podemos reescrever
\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{h}{2}\bigr)}{h} =\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{h}{2}\bigr)}{\tfrac{h}{2}}\cdot\frac12.

Passo 5

Então
\frac{\cos(x_{0}+h)-\cos(x_{0})}{h} =-\sin\!\Bigl(x_{0}+\tfrac{h}{2}\Bigr)\;\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{h}{2}\bigr)}{\tfrac{h}{2}}.
Ao tomar o limite h\to0, usamos
\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1 e \lim_{h\to0}\bigl(x_{0}+\tfrac{h}{2}\bigr)=x_{0}. Logo
f'(x_{0}) =-\sin(x_{0}).

Passo 6

Basta agora substituir x_{0}=\tfrac{\pi}{4}. Como \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\tfrac{\sqrt{2}}{2}, concluímos
f'\!\Bigl(\tfrac{\pi}{4}\Bigr) =-\frac{\sqrt{2}}{2}.

Resposta

f'\!\Bigl(\tfrac{\pi}{4}\Bigr)=-\frac{\sqrt{2}}{2}.

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