Calcular as derivadas pela definição:
H. 119 f(x)=x^{2}+2 x+5, \quad x_{0}=1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=x^{2}+2x+5 no ponto x_{0}=1 usando a definição de derivada (limite do quociente incremental). Vamos aplicar a definição e fazer manipulações algébricas para chegar ao resultado.

Passo 2

Pela definição de derivada,
f'(1)=\lim_{h\to0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}.

Passo 3

Calcule f(1+h) e f(1):
f(1+h)=(1+h)^{2}+2(1+h)+5=1+2h+h^{2}+2+2h+5=8+4h+h^{2},
f(1)=1^{2}+2\cdot1+5=8.

Passo 4

Forme o quociente incremental e simplifique:
\frac{f(1+h)-f(1)}{h} =\frac{(8+4h+h^{2})-8}{h} =\frac{4h+h^{2}}{h} =4+h.

Passo 5

Tome o limite quando h\to0:
f'(1)=\lim_{h\to0}(4+h)=4.

Resposta

f'(1)=4

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