Determine o domínio da função f dada por f(x)=lim n +infty x^2 n(1-x^2 n). Qual o valor de f para cada x pertencente ao domínio de f ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função . Queremos descobrir qual é o domínio dessa função, ou seja, para quais valores de essa função está bem definida. Além disso, precisamos determinar o valor de para cada que pertence a esse domínio. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites e como funções se comportam quando elevamos números a potências muito grandes.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro do limite: . Aqui, está indo para o infinito, então precisamos entender como se comporta conforme aumenta.
Lembre-se que elevar um número a uma potência muito grande depende do valor absoluto de :
  • Se , então tende a 0 quando vai para o infinito.
  • Se , então para qualquer .
  • Se , então cresce sem limites, ou seja, tende ao infinito.
Vamos analisar cada caso separadamente.

Passo 3

Caso 1: limn +infty x^2n = 0
Se limn +infty x^2n(1 - x^2n) = 0 times 1 = 0 , então limn +infty x^2n(1 - x^2n) = 1 times (1 - 1) = 0 tende a 0 quando vai para o infinito. Assim:
E como tende a 1 (já que vai para 0), temos:
Caso 2:
Se , então para qualquer . Assim:
Caso 3:
Se , então cresce sem limites, ou seja, tende a se e a novamente se (já que estamos elevando ao quadrado). Além disso, tende a . O produto de e não é definido de forma finita, então o limite não existe dentro dos números reais.

Resposta

O domínio da função é todo tal que . Para cada nesse domínio, .

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