Determine o limite da sequência f_n(x) = ((n+1)/n)^(x*n)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o limite da sequência . A matéria envolvida aqui é limites de sequências, especialmente utilizando propriedades de exponenciais e logaritmos. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar expressões com potências e aplicar a definição do número .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro da potência. Observa que:
Então, podemos reescrever a sequência assim:

Passo 3

Agora, vamos lembrar de um limite famoso que define o número :
Esse limite nos mostra que, conforme fica cada vez maior, a expressão dentro dos parênteses elevada a se aproxima de .

Passo 4

No nosso caso, temos elevada a ao invés de apenas . Podemos reescrever a potência assim:
Isso é possível porque quando temos uma potência dentro de outra, multiplicamos os expoentes.

Passo 5

Agora, aplicando o limite que conhecemos:
Isso acontece porque se aproxima de quando vai para o infinito, e então elevado a resulta em .

Resposta

O limite da sequência é .

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